2.4.2 Dynamika dokonale tuhého telesa

 

            Dokonale tuhé teleso, ktoré je idealizáciou skutočného tuhého telesa, je teleso, ktoré sa pôsobením síl nedeformuje. Skutočné tuhé  telesá túto požiadavku nespĺňajú. Teleso pod účinkami  síl môže meniť svoj tvar alebo objem. Zmeny tvaru a zmenu objemu nebudeme brať na zreteľ. Takže pod pojmom tuhého teleso v celej časti budeme uvažovať dokonalé tuhé teleso. Na tuhé teleso sa dívame buď ako na sústavu hmotných bodov s nemennými vzájomnými vzdialenosťami, alebo ako na objekt so spojite rozloženou hmotnosťou. Podľa toho, s ktorou predstavou pracujeme, používame odpovedajúci matematický popis ( sumácia cez všetky body sústavy, resp. integrálny počet).

V časti 2.2.2 sme si bližšie ozrejmili kinematiku tuhého telesa,  definovali základné vektorové veličiny nevyhnutné k skúmaniu pohybu tuhého telesa a pojednali o opise všeobecného pohybu tuhého telesa. Ako sme už uviedli, skúmanie zákonitostí pohybu voľného tuhého telesa, konajúceho všeobecný pohyb, môžeme zjednodušiť, ak pohyb rozložíme na translačný  pohyb ľubovolného bodu telesa a rotačný pohyb telesa okolo okamžitej osi rotácie prechádzajúcej týmto vybratým ľubovolným bodom telesa.  Z tohto hľadiska pri dynamike tuhého telesa  rozlišujeme dynamiku translačného pohybu, dynamiku rotačného pohybu a dynamiku všeobecného pohybu.

·       Dynamika translačného pohybu

Pri translačnom (postupnom) pohybe tuhého telesa  jednotlivé jeho body vykonávajú zhodné dráhy. Ľubovolná priamka v tuhom telese pri tomto pohybe ostáva so svojím pôvodným smerom rovnobežná. Z tohto dôvodu stačí skúmať pohyb jediného bodu tuhého telesa.  V dynamike týmto bodom je hmotný stred telesa (ťažisko) T, ktorého  poloha je určená vektorovou rovnicou (2.2.1) resp. (2.2.6). Translačný pohyb bude reprezentovaný pohybovou rovnicou hmotného stredu, pre ktorý v podstate  platia všetky zákony platné pre mechaniku hmotného bodu. Preto už translačnému pohybu zvláštnu pozornosť nebudeme venovať.

·       Dynamika rotačného pohybu

Pri rotačnom pohybe tuhého telesa sa teleso otáča okolo osi prechádzajúcej dvoma pevnými bodmi, alebo okolo premenlivej osi prechádzajúcej jedným pevným bodom. Pre popis obidvoch typov rotačného pohybu budeme pracovať s veličinami j w, a (kap. 2.2.1), ktoré sú rovnaké pre všetky body otáčajúceho sa tuhého telesa. V dynamike hmotného bodu (telesa) pracujeme s hmotnosťou m, ako   mierou zotrvačných účinkov telesa pri translačnom pohybe.  Ako to bude v dynamike rotačného pohybu možno si ozrejmiť na dvojatómovej molekule  s rovnakými atómmi, resp.  obecne na tzv. rotátore. Pod rotátorom rozumieme  sústavu  dvoch hmotných bodov s rovnakými hmotnosťami pevne spojenými nehmotnou tyčkou dĺžky l. Ak rotátor sa pohybuje okolo osi prechádzajúcej hmotným stredom rotátora kolmo na rovinu pohybu,  hmotné body konajú pohyb po kružnici  v rovine nákresne, s rovnko veľkou rýchlosťou. Celková hybnosť rotátora je nulová, preto táto veličina nie je vhodná na skúmanie rotačného pohybu.  Zo života však  vieme, že ak chceme roztočiť dva rotátory s rovnakou celkovou hmotnosťou, avšak s rôznymi dĺžkami l₁  a  l₂ , ľahšie roztočíme rotátor, ktorého vzájomná vzdialenosť hmotných bodov je menšia. resp. hmotnosť pri rovnakej vzdialenosti je menšia.  To znamená, že pri tuhom telese bude hrať rolu nielen hmotnosť rotátora,  ale aj rozloženie hmotnosti okolo osi rotácie. Uvedený príklad naznačuje, že mierou zotrvačných účinkov tuhého telesa pri rotácii bude fyzikálna veličina,  závisiaca nielen od hmotnosti, ale aj od rozloženia hmotnosti vzhľadom na danú os. Takouto fyzikálnou veličinou je moment zotrvačnosti telesa. 

·       Moment zotrvačnosti tuhého telesa 

V ponímaní tuhého telesa ako sústava n – diskrétnych hmotných bodov, možno celkovú kinetickú energiu E_k tuhého telesa rotujúceho okolo pevnej osi  vyjadriť ako súčet kinetických energií jeho jednotlivých hmotných bodov   m_i (elementov):

 

                                                                                                  (2.4.29)

Je výhodné postupnú rýchlosť v_i, rôznu pre jednotlivé body telesa, nahradiť uhlovou rýchlosťou w  rotačného pohybu okolo pevnej osi, ktorá je pre všetky body telesa rovnaká, pričom platí vzťah

 

                                                                                                                           (2.4.30)

 

kde r_i je vzdialenosť i-teho hmotného bodu od rotačnej osi. Po dosadení vzťahu (2.4.30) pre kinetickú energiu rotujúceho tuhého telesa dostaneme

 

 

Súčet v poslednej rovnici závisí  len od hmotnosti a jej rozloženia vzhľadom na danú os a nazýva sa moment zotrvačnosti tuhého telesa vzhľadom na danú os. Spravidla ho označujeme J.

 

                                                                                                                     (2.4.31)

 

Pre homogénne  teleso so spojite rozloženou hmotnosťou  ( merná hustota telesa r = konst.) moment zotrvačnosti  J možno vyjadriť nahradením súčtu integrálom cez hmotnosť, resp. cez elementárny objemový element dV po celom objeme V

 

                                                                                                  (2.4.32)

 

r znamená kolmú vzdialenosť vybraného hmotného elementu dm od osi rotácie. Vidíme, že moment zotrvačnosti je tým väčší, čím je väčšia hmotnosť telesa a závisí od rozloženia hmotnosti. Je charakteristikou telesa a viaže sa na určitú rotačnú os. Pre rôzne rotačné  osi moment zotrvačnosti daného tuhého telesa je rôzny. Pomocou momentu zotrvačnosti možno kinetickú energiu tuhého telesa vyjadriť

 

                                                                       (2.4.33)