2.3.5 Pohybová rovnica hmotného bodu a jej riešenie

 

Druhý pohybový zákon, určený rovnicou (2.3.8)  F = ma,  predstavuje vektorovú diferenciálnu rovnicu 2. rádu, ktorú tiež nazývame pohybovou rovnicou hmotného bodu (telesa). Pri zostavovaní pohybovej rovnice (2.3.8)  musíme zvážiť všetky pôsobiace sily, t.j. F= [ F_x , F_y ,F_z] v rovnici znamená vektorový súčet všetkých pôsobiacich síl. Táto rovnica je ekvivalentná trom skalárnym rovniciam

 

                                                                                           (2.3.17)

 

Pre jednoznačné vyriešenie týchto troch skalárnych diferenciálnych  rovníc, resp.  pre jednoznačné určenie pohybu hmotného bodu,  potrebujeme poznať ešte doplňujúce údaje, určujúce hodnoty dvoch vektorových, alebo šiestich skalárnych konštánt. Tieto hodnoty sa nazývajú počiatočné podmienky. Obyčajne sa uvádzajú hodnoty polohového vektora a vektora rýchlosti  v okamihu  t = 0 na  začiatku merania, t.j.  r₀ a v₀.

Pohybový zákon môžeme využiť v dvoch smeroch.

·     Ak poznáme hmotnosť telesa m,  výslednú silu pôsobiacu na teleso F a počiatočné podmienky r₀ a  v ₀ , môžeme určiť v každom časovom okamihu t jeho rýchlosť  v  a polohový vektor r.

·     Ak je známa hmotnosť hmotného bodu  m a závislosť r = r(t),  možno vyjadriť vzťah pre pôsobiacu silu.

Všeobecný spôsob riešenia  pohybovej rovnice hmotného bodu v inerciálnej vzťažnej sústave si ukážeme na nasledovných troch  prípadoch. Ak  pôsobiaca sila má všetky tri zložky nenulové, riešili by sme tri skalárne rovnice pre  odpovedajúce zložky sily. Pre jednoduchosť budeme uvažovať prípady, kedy   pôsobiaca sila má smer osi x.   t.j. F = [F_x, 0,0].

1/  Pôsobiaca sila je konštantná - F_x  = konšt.

     Pohybová rovnica (2.3.20) je diferenciálna rovnica druhého rádu tvaru

 

 

Budeme ju riešiť znížením rádu diferenciálnej  rovnice na prvý, t.j. najprv nájdeme riešenie pre rýchlosť:

 

                                                            (2.3.18)

 

                         (2.3.19)

 

Konštanty  C₁ a  C₂ v rovniciach (2.3.18) a (2.3.19) určíme z  počiatočných podmienok v časovom okamihu t = 0 s,  napríklad: teleso sa nachádzalo v pokoji a v začiatku súradnicovej sústavy t.j. x₀ = 0 a  v₀ = 0

 

 

 

                                                                                                      (2.3.20)

 

                                                                                                                 (2.3.21)

 

čím sme získali rovnice pre polohu  (2.3.20) a rýchlosť (2.3.21) hmotného bodu pri rovnomerne zrýchlenom pohybe v danom časovom okamihu t. V špeciálnom  prípade, keď  F_x = 0  , dostaneme rovnice 

 

3/  Pôsobiaca sila je funkciou polohy  F_x  = F_x(x)

 

Takýto prípad sa dá šikovnejšie riešiť ak využijeme súvislosť práce so zmenou kinetickej energie, pri zadaných  počiatočných podmienkach x₀  a  v₀ . Pre prácu pôsobiacej sily platí

 

                                                                                (2.3.24)

 

4/  Pôsobiaca sila je funkciou rýchlosti  F_x = F_x(v_x)

 

Newtonovu pohybovú rovnicu (2.3.20) napíšeme v tvare

   

Príklad 2.3.3:  Nájdite časovú závislosť dráhy pádu guličky s objemom V v reálnej kvapaline s hustotou r, ktorá má koeficient viskozity h, ak guličku považujeme za hmotný bod. (Sila odporu prostredia je priamoúmerná rýchlosti guličky v kvapaline F₀ = 6 p h r v  )         

Riešenie: Zvoĺme si súradnicovú sústavu s osou y orientovanou zvisle nadol. Na guličku pôsobia sily: tiažová sila zvisle nadol, na základe Archimedovho zákona pôsobí vztlaková sila zvisle nahor a ak uvažujeme reálnu kvapalinu, pôsobí ešte sila odporu prostredia proti pohybu, t.j. zvisle nahor. Pohybovú rovnicu,  nakoľko a = [0,a,0] , v = [0,v,0] , g = [0,-g,0] možno napísať

 

Ma = mg - r g V  - 6 p h r v                                                                                                      (1)

                                                                                                   (2)

 

Prvý člen na pravej  strane rovnice (2) je konštanta, rovnako ako i koeficient pri druhom člene s rýchlosťou v.  Pre zjednodušenie zápisu si zavedieme konštanty :

 

                                                                                                                         (3)

 

                                                                                                                                 (4)

 

Rovnica (2) prejde, po nahradení konštantami (3) a (4) a  po separácii premenných, na tvar

 

                                                                                                                           (5)

 

Po integrovaní dostaneme integrál, ktorý riešime substitúciou A – B v = z dv = - dz/B

 

 

 

 

                

 

                                                                                                              (6)        

 

                                                                                                              (7)

 

Rýchlosť guličky bude narastať z nulovej hodnoty na začiatku merania na  konštantnú hodnotu v_r, do okamihu, kedy sa sila smerujúca nahor vyrovná so silou tiažovou. Po tomto okamihu sa bude pohybovať rovnomerným pohybom s konštantnou rýchlosťou, pre ktorú  platí

 

 

                                                                  

 

Polohu guličky určíme  riešením diferenciálnej rovnice (6), po dosadení za rýchlosť

 

 

       

 

 

________________________________________

Príklad 2.3.4: Teleso o hmotnosti m  sa dalo z pokoja do priamočiareho pohybu  pod účinkom tiažovej sily. Nájdite závislosť zrýchlenia, rýchlosti a dráhy pohybu hmotného bodu od času,  ak odpor prostredia nezanedbáme a sila odporu je priamoúmerná rýchlosti hmotného bodu.

 

Riešenie: Pohybový stav telesa určuje výslednica pôsobiacich síl. V našom  prípade sa jedná o tiažovú silu  F_G = mg a silu odporu vzduchu F_o = -b v , kde b je konštanta. Výsledná sila F_v = F_G + F_o je funkciou len  rýchlosti v  telesa. V karteziánskej súradnicovej sústave si vyjadríme pôsobiace sily:  F_G = [0, 0, -mg ]    F_o = [0, 0, bv ]   F_v = [0, 0, -mg + bv ]. Výsledný pohyb sa bude konať po priamke rovnobežnej so z- osou v smere nadol. Z tohto dôvodu vektorová rovnica  prejde na jednu skalárnu rovnicu :

 

F_z  = ma _,                                                                                                                                (1)       

 

pretože  a  = [0, 0, a]. Určiť zákon pohybu telesa, t.j. časovú závislosť rýchlosti  v = v(t)  a  polohového vektora  r = r(t),  znamená riešiť rovnicu

 

-mg + bv = ma                                                                                                                        (2)

s počiatočnými podmienkami v_o = v(t =o) = 0. Po dosadení za zrýchlenie

 

 

dostaneme separovateľnú diferenciálnu rovnicu prvého rádu. Po separácii premenných

 

                                                                                                                  (3)

 

a integrácii  pomocou substitúcie dostaneme

 

 

 

 

 

odkiaľ pre hľadanú rýchlosť platí:

 

                                                                                            (4)

 

Veľkosť zrýchlenia ako funkciu času získame po zderivovaní rýchlosti, t.j. vzťahu určeného rovnicou (4)

 

 

resp. vo vektorovom tvare

 

                                                                                                                 (5)

 

 

Časovú závislosť polohy získame z rovnice (4) po dosadení za rýchlosť

 

 

 

 

 

 

Príklad 2.3.5 Experimentálne merania na objekte  s hmotnosťou 500 g ukázali, že pri pohybe v rovine x y sa jeho pohyb mení podľa rovníc : x  =  t -A t², y  = B t³, kde t je čas v sekundách, x, y sú súradnice v metroch, A = 4 m.s^-2 a B =  0,1 m.s^-3 sú konštanty. Nájdite: a)  vzťah pre pôsobiacu silu, b) veľkosť pôsobiacej sily v okamihu t₁ = 10 s.

Riešenie: Zadané veličiny: m = 500 g = 0,5 kg   ,  t₁ = 10 s

parametrické rovnice dráhy: :  x  =  t -A t²,  y  = B t³ ,  A = 4 m.s^-2 a B =  0,1 m.s^-3

 

Pôsobiacu silu určíme na základe 2. Newtonovho zákona v zložkovom tvare:

 

                                        

 

 

 

a)    F = F_x i + F_yj = 2m( -Ai + 3Btj)

 

b)  F = F(t) = 2 m

 

_________________________    

 

Príklad 2.3.6: Nájdite vzťah určujúci časovú závislosť rýchlosti telesa pohybujúceho  sa vo vzduchu s hustotou r , ak  aerodynamický koeficient odporu pohybujúceho sa telesa je  k a jeho čelný prierez je S, ak viete, že sila odporu vzduchu je daná vzťahom

  

 

Riešenie: Na dané teleso pôsobí sila tiaže v smere pohybu a sila trenia, ktorá smeruje proti smeru pohybu.  Ak si zvolíme kladnú os v smere pohybu, pre tento pohyb po priamke v smere osi y platí:

 

                                                                                                 (1)

 

Po úprave  separovateľnej diferenciálnej rovnici  (1) prvého rádu dostaneme

 

dv  = g( 1 - A² v²)dt

 

kde sme zaviedli konštantu

 

.

 

Po  separácii premenných a integrovaní získame rovnicu

 

                                                                                                 (2)

Integrál na ľavej strane rovnice (2) riešime rozkladom na parciálne zlomky.  

 

 

 

1-  Av = ( 1+Av ) e ^-2Agt

 

1 - e^-2Agt = Av ( 1 + e^-2Agt)   

   

 

Vidíme, že pri voľnom páde v prostredí, ktorého odpor nezanedbávame, rýchlosť  sa ustáli na hodnote, ktorá závisí od tvaru a veľkosti telesa a od vlastností prostredia,  v ktorom sa pohyb uskutočňuje. 

 

Kontrolné otázky k časti 2.3.5

1.     Napíšte základnú pohybovú rovnicu hmotného bodu.

2.     Na konkrétnych príkladoch uveďte, kedy sa stretávame s počiatočnými podmienkami.

3.     Vysvetlite, čo znamená riešiť pohybovú rovnicu.

4.     S ktorými prípadmi pôsobiacej sily sa možno najčastejšie stretnúť? Ako budeme pre tieto prípady riešiť pohybovú rovnicu?

5.     Ako možno  využiť princíp superpozície pri riešení pohybovej rovnice hmotného bodu?