menu

6.1.11.4 Potenciál sústavy nábojov a spojitého rozloženia nábojov.

Vzťah (6.1.69), ktorý sme dostali pre potenciál bodového náboja môžeme na základe princípu susperpozície elektrických polí ihneď zovšeobecniť na ľubovoľnú sústavu bodových nábojov qi :

                                                                                                       (6.1.71)

Pre spojité rozloženia nábojov s hustotou r(r´) máme

                                                                                          (6.1.72)

a integrácia prebieha cez celý objem V, kde sa nachádzajú náboje. Pre náboje rozložené na ploche s plošnou hustotou s  platí

                                                                                       (6.1.73)

A pre náboje rozložené na vlákne s dĺžkovou hustotou l  pozdĺž nejakej krivky C je

                                                                                        (6.1.74)

Vidíme, že vzťahy na výpočet potenciálu sú podstatne jednoduchšie ako vzťahy na výpočet elektrostatického poľa, čo sa v praxi veľmi často aj využíva. Potrebujeme nájsť len obrátený "recept" na výpočet elektrického poľa ak poznáme potenciál, čo bude predmetom nasledujúceho odseku.

___________________________________________________________________________

Príklad 6.1.10.1 Dva bodové náboje , sú vo vzdialenosti d = 20 cm. V ktorom mieste na ich spojnici sú potenciály budené oboma nábojmi rovnaké?

 

Obr.6.1.10.1

Riešenie: Potenciál bodového náboja v bode P sa rovná

       ,

potenciál bodového náboja v bode P sa rovná

.

Potenciály sú rovnaké, čo znamená

       ,

po úprave a dosadení dostaneme

      

Potenciál je rovnaký vo vzdialenosti 12 cm od väčšieho náboja.

Príklad 6.1.10.2 Vo vrcholoch štvorca so stranami 10 cm sú umiestnené 4 rovnako veľké náboje s veľkosťou 10-7 C. Určite potenciál v strede štvorca, ak znamienka nábojov q1 , q2 , q3,  q4

a) ++++

b) + - + -

c) + + - -

                       a)                                                         b)                                                      c)

Obr.6.1.10.2

Riešenie“: Vzdialenosť vrcholu od stredu štvorca P je .Potenciál bodového náboja v tejto vzdialenosti vypočítame podľa vzťahu .

Na základe princípu superpozície elektrických polí potenciál v bode P dostaneme ako súčet potenciálov od 4 bodových nábojov.

a)

b)

c)

Potenciál v strede štvorca je a) , b) , c) .

_________________________________________________________________________________

Príklad 6.1.10.3 Dve veľmi dlhé kovové valcové plochy sú súosé. Polomer vnútornej valcovej plochy je r1 , polomer vonkajšej je r2 . V priestore medzi nimi je vákuum. Na valcové plochy privedieme náboj tak, že ich pripojíme k zdroju napätia U. Po odpojení zdroja vonkajšiu plochu uzemníme. Vyšetrite potenciál elektrostatického poľa medzi plochami.

Riešenie:

Obr. 6.1.10.3

Z Gausovej vety platí pre intenzitu poľa medzi valcovými plochami:

            

kde Q  je náboj na vnútornej ploche, l  je dĺžka valca a r je vzdialenosť od osi valca. Pritom platí  r1 < r < r2 . Pre elektrostatický potenciál vo všeobecnosti platí

            

kde rref  je polohový vektor bodu, na ktorý vzťahujeme potenciál. V našom prípade to bude uzemnená vonkajšia valcová plocha. Keďže pri výpočte potenciálu výsledná hodnota nezávisí od konkrétnej integračnej cesty, budeme ju voliť kolmo na os valca, takže v tomto prípade bude vždy E ­­ dr . Potom sa nám výpočet potenciálu zjednoduší:

                 

Špeciálne pre r = r1  a r = r2 dostaneme

            

                   

nakoľko rref = r2 . V našom prípade je

            

z čoho potom

Pri známom l možno vypočítať náboj Q

                  

Pre potenciál vo vzdialenosti r od osi valca potom dostaneme

            

 


menu