6.1.10.2 Elektrické pole rovnomerne nabitej gule

Máme guľu (sféru) s polomerom R, ktorá je rovnomerne nabitá elektrickým nábojom s objemovou hustotou r. Situáciu znázorňuje obr. 6.1.17.  Pre tento prípad je typická sférická symetria úlohy, t.j. že pri otočení systému okolo ľubovoľnej osi prechádzajúcej stredom gule sa žiadna fyzikálna veličina nemení. Z toho vyplýva, že:

·        elektrické pole má radiálny smer

·        veľkosť vektora E t.j. E = |E | je funkciou iba vzdialenosti r od stredu gule.

 

V tomto prípade je najvýhodnejšie zvoliť plochu S ako sférickú plochu o polomere r. Potom pole E  na povrchu plochy je v každom bode rovnobežné s normálou n k ploche S. Tok elektrického poľa potom ľahko dostaneme

                                                                                   (6.1.49)

Náboj q, ktorý je takouto plochou obklopený závisí od polomeru r. Ak je r < R, tak vo vnútri plochy sa nachádza iba časť náboja celého telesa

                                                                                                      (6.1.50)

Z Gaussovej vety potom vyplýva

                                                                                           (56.1.1)

z čoho po úprave dostaneme

                 pre                     r < R                                                         (6.1.52)

Pre plochy S, kde r > R je náboj vo vnútri plochy konštantný

          ,                                                                                   (6.1.53)

takže pre výsledné pole dostaneme

                    r > R                                                       (6.1.54)

Priebeh veľkosti vektora intenzity poľa E je znázornený na obr. 6.1.9.2. Vidíme, že veľkosť vektora od stredu gule najprv lineárne vzrastá. Najväčšiu hodnotu dosahuje na povrchu gule. Elektrické pole mimo nabitej gule klesá so štvorcom vzdialenosti. Výsledok je dôležitý aj z toho hľadiska, že pole rovnomerne nabitej gule v priestore mimo nej je presne také isté ako pole bodového náboja umiestneného v jej strede, rovnakej veľkosti ako je celkový náboj gule. Toto do istej miery oprávňuje aproximáciu nabitých telies bodovými nábojmi.