6.1.7.1 Elektrostatické pole na osi rovnomerne nabitej kruhovej dosky

Na obr. 8 je znázornená kruhová doska, ktorá je rovnomerne pokrytá nábojom s plošnou hustotou s. (Môžeme si predstaviť, že náboj sa nachádza na každej strane dosky s polovičnou hustotou).

Vyberme si na doske malý plošný element dS vo vzdialenosti r od stredu dosky. Na obrázku je znázornený príspevok dE k celkovej intenzite E  na osi vo vzdialenosti a od stredu. Z kruhovej symetrie dosky je zrejmé  ( a preto počítame pole iba na osi dosky), že ku každému elementu dS existuje na protiľahlej strane dosky rovnako veľký element dS´, ktorého príspevok dE´ bude zrkadlovým obrazom príspevku dE vzhľadom na rovinu, ktorá prechádza osou dosky a je kolmá na obrázok. Z obrázku je zrejmé, že u každej takejto dvojice elementov sa zložky  kolmé na os (z) dosky vyrušia a príspevky rovnobežné s osou dosky sa algebraicky sčítajú. To znamená, že ďalej nám stačí počítať iba príspevky k poľu iba v tomto jedinom smere.

                                                        (6.1.17)

Všetky náboje, ktoré sa nachádzajú vo vzdialenosti r od stredu dosky dávajú rovnaký príspevok dE_z. Preto môžeme plošný element dS voliť ako medzikružie s polomerom r a hrúbke dr. Potom

 

         

                                                                    (6.1.18)

Výsledná intenzita má jedinú nenulovú zložku v smere osi z, čiže

                                                                                  (6.1.19)

Keďže , tak

                                                                                (6.1.20)

Zavedením substitúcie t = (a² + r²) , ( dt = 2rdr) dostaneme

                                                                                                  (6.1.21)

kde sme konštantné veličiny vyňali pred integrál. Integrovanie sa týka jednoduchej mocninnej funkcie, takže pre výsledné pole dostaneme

           =                              (6.1.22)

Výsledok ku ktorému sme dospeli má však iba obmedzenú platnosť pre os dosky. Zaujímavý je však limitný prípad, keď bod pozorovania je tesne nad stredom dosky a/R -> 0 a vtedy dostávame

                                                                                                              (6.1.23)

Tento výsledok môžeme interpretovať aj inakšie, a to tak, že budeme považovať vzdialenosť a za konečnú, ale polomer dosky R budeme neobmedzene zväčšovať. Tým sa dostávame k abstrakcii nekonečnej nabitej roviny, pre ktorú je každá priamka kolmá na rovinu jej osou. Pripomíname, že ide o idealizáciu, v praxi sa môžu vyskytovať nabité roviny iba konečných rozmerov.