Príklady z Modernej fyziky.

1.

Ukážte, že vlna
 

$$u_{k}(r) = konst \times \frac{e^{ikr}}{r}$$ (1)

je sféricky symetrické riešenie vlnovej rovnice. Konštantu určte tak, aby podľa Huygensovho princípu príspevok od nekonečnej roviny vĺn s rovnakou fázou dal spolu rovinnú vlnu.( $\Delta$ v sférických súradniciach, pre symetrický problém, t.j. $\frac{\partial}{\partial \phi} = 0, \frac{\partial}{\partial \theta} = 0$, je $\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r} r^{2} \frac{\partial}{\partial r}$. Použite paraxiálnu aproximáciu, kde $\sqrt{ x^{2} + y^{2} + z^{2}} \approx z \left( 1 + \frac{x^{2} + y^{2}}{2 z} \right)$ pre nekonečnú rovinu z=0. )

[ $konst = \frac{k}{2 \pi i}$ ]

2.

Uvažujte kruhovú štrbinu s polomerom r₀. Ako sa závisí intenzina vlnenia na osi prechádzajúcej otvorom od vzdialenosti od otvora ( v rámci paraxiálnej approx.)? Nakreslite obrázok. ( Frenelove zóny. )

[ $I(z) = 4 sin^{2}\left( \frac{k r_{0}^{2}}{4 z} \right)$ ]

3.

Pomocou Huygensovho princípu spočítajte difrakčný obrazec od nekonečne dlhej, štrbiny s šírkou a na tienidle vo vzdialenosti $z \gg a$. Uvážte pritom, že pre veľkú vzdialneosť obrazcu od štrbiny je $z\left( 1 + \frac{(x-x')^{2} + (y-y')^{2}}{2 z} \right)$ $\approx$ $z \left( 1 + \frac{x^{2} + y^{2} - 2(x x' + y y')}{z^{2}} \right)$.

[$I \sim \frac{ 2 sin^{2}( \frac{ k a x}{ 2 z} )}{\frac{k x}{z} }$]

4.

Prečo je kov v oblasti viditeľného svetla silne reflektívny? Zdôvodnite kvantitatívnym odhadom (${\rm m_{e}=9.1 \times 10^{-31}kg,}$ ${\rm \frac{e^{2}}{\epsilon_{0}}=2.9 \times 10^{-27} Jm}$, ${\rm n \approx 10^{22} cm^{-3}}$, ${\rm h/e = 4.135 \times 10^{-15} eV.s}$). Skúste pouvažovať nad modelom absolútne čierneho telesa zostaveného z dutej kocky z tenkými kovovými stenami. Nakoľko môže hrúbka týchto stien ovplyvniť takýto model? (Skin efekt).

[ Nájdite dielektrickú funkciu elektrónového plynu $\epsilon(\omega) = 1 - \frac{ \omega_{p}^{2} }{ \omega^{2} }, \omega_{p} = \sqrt{( \frac{ n e^{2}}{m \epsilon } )} = ...$ a riešte el.mag. pole v takomto prostredí.]

5.

Na Zem prichádza slnečné žiarenie s plošnou hustotou výkonu P = 700 W/m². Aká je teplota na Slnku? ( Polomer Slnka R₀=600000 km, vzdialenosť Zem - Slnko je 150 miliónov km, ${\rm \sigma = 5.67 \times 10^{-8} W/m^{2} . K^{4}}$.)

[ 6000 K. ]

6.

Maximum intenzity vyžarovania wolframového vlákna pripadá na $\lambda$ = 966 nm. Priemer vlákna d = 0.2 mm, dĺžka l=1cm. Za aký čas poklesne teplota na izbovú po jej vypnutí? ( ${\rm T \lambda_{max} = b = 2.9 \times 10^{-3} Km}$, ${\rm \sigma = ..., \rho = 19 \times 10^{3} kgm^{-3}, C = 154 Jkg^{-1}K^{-1} }$.)

$[ t = \frac{d \rho C}{12 \sigma} \left( \frac{1}{T_{0}^{3}} - \frac{\lambda^{3}}{b^{3}} \right) \approx 34 s .]$

7.

Wolfrámová žiarovka je kov a nie hypotetické čierne teleso. Za akých podmienok možno použiť model absolúlne čierneho telesa aj v tomto prípade (Skin efekt + hrúbka vlákna)? Pre popis kovu uvažujte dielektrickú konštantu odvodenú v príklade "kov ako zrkadlo".

8.

Bude platiť analóg Wienovho zákona aj pre rozpálenú železnú tehlu? Uvážte, že pre elmag. vlny v kove platí disperzný vzťah

$$k c = \sqrt{ \omega^{2} - \omega_{P}^{2} },$$ (2)

kde c je rýchlosť svetla vo vákuu, k veľkosť vlnového vektora, $\omega$ uhlová frekvencia elmag. vlny a $\omega_{P}$ plazmová frekvencia kovu (viď. príklad "kov ako zrkadlo").

[ Áno. ]

9.

Prečo voľný elektrón nedokáže absorbovať fotón?

[ ZZE a ZZH nedajú fyzikálne riešenie - ukázať. ]

10.

Atóm v pokoji prechádza zo stavu s energiou W₁ do stavu s energiou W₁ a vyžiari pritom fotón s energiou $\hbar \omega$. Ak sa ten istý atóm pohybuje v smere osi z rýchlosťou v₁ a vyžiari pri tom istom prechode fotón pod uhlom $\theta$ s osou z. Aká je energia takéhoto fotónu, a ako súvisí s Dopplerovým efektom?

$[ \hbar \omega ' = \frac{ \hbar \omega }{ 1 - \frac{v_{1}}{c} \cos{(\theta)} } .]$

11.

Ukážte, že pohybu častice zodpovedá grupová rýchlosť $v_{g} = \frac{ \partial \omega }{\partial k}$ a nie fázová rýchlosť $v_{f} = \frac { \omega }{k}$. Uvažujte jedno-rozmerný vlnový balík
 

$$\phi(z,t) \sim \int_{-\infty}^{+\infty} g(k-k_{0}) \times {\rm e}^{i(kz - \omega(k) t)} dk$$ (3)

kde k₀ je klnový vektor dávajúci najvýraznejší príspevok ku sume týchto rovinných vĺn (g(k-k₀) má výrazné maximum pre k=k₀). V takomto prípade $g(k-k_{0}) \approx g(0)$ pre $k \in (k_{0}-\Delta,k_{0}+\Delta)$ a pre iné k je celý integrál efektívne nulový. V intervale $(k_{0}-\Delta,k_{0}+\Delta)$ možno $\omega(k)$ rozvinúť do taylorovho radu $\omega(k_{0}+\delta) \approx \omega(k_{0}) + \frac{\partial \omega}{\partial k} \delta + \ldots$. Po uvážení týchto faktov je integrál () vyčísliteľný. Pohyb častice zrejme zodpovedá pohybu maxima tohto balíka.

$[ \phi(z,t) \sim \frac{ 2 sin( z \Delta - \frac{\partial \omega}{\partial k} t \Delta ) }{ z - \frac{\partial \omega}{\partial k} t }$, čo má polohu maxima danú $z_{max} = \frac{\partial \omega}{\partial k} t ]$.

12.

Rovnice elektromagnetizmu sú relativisticky korektné, nakoľko správne opisujú el.mag. pole, aj keď sa fotóny pohybujú rýchlosťou v = c (vo vákuu). Správna (relativisticky invariantná, t.j. je rovnaká v čiarkovanej aj v nečiarkovanej sústave) je teda aj vlnová rovnica
 

$$\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2} \phi(z,t)}{\partial^{2} t} - \frac{\partial^{2} \phi(z,t)}{\partial^{2} z} = 0$$ (4)

Uvažujte ľubovoľnú lineárnu transformáciu súradníc a času
 

$$\left( \begin{array} {c} z \ t \end{array} \right) = \le... ...ght) \left( \begin{array} {c} z' \ t' \end{array} \right)$$ (5)

s podmienkou, že počiatok čiarkovanej sústavy sa pohybuje vzhľadom na nečiarkovanú rýchlosťou u (t.j. u = a₁₂/a₁₁, prečo?). Aké podmienky vyplývajú z invariancie rovnice () na koeficienty a_ij?

[Transformácia () je špeciálna Lorentzova transformácia. Inač povedané, vlnová rovnica s fázovou rýchlosťou v_f=c je relativisticky invariantná.]

13.

Na základe invariancie vlnovej rovnice () nájdite relativistický vzťah pre Dopplerov effekt. Pomôcka: Musí zrejme platiť $\phi_{k}(z,t) = e^{i(kz-\omega t)}$ = $\phi_{k'}(z',t') = e^{i(k'z'-\omega' t')}$, kde $\omega = c k$ a $(z,t) \rightarrow (z',t')$ podľa špeciálnej Lorentzovej transformácie.

[$\omega' = \omega \sqrt{ \frac{ 1 - \frac{v}{c}}{ 1 + \frac{v}{c}}}$ , kde $\omega'$ je frekvencia v pohybujúcej sa sústave.]

14.

Pióny $\pi^{+}$ a $\pi^{-}$ sú nestabilné - rozpadajú sa s polčasom $\tau = 1.8 \times 10^{-8}$s. Akú dráhu ubehnú v laboratóriu, keď sa ich polovica rozpadne ak sa šíria rýchlosťou v=0.996 c ?

[ Klasicky s = 5.38 m; relativisticky s = 60m. ]

15.

Intenzita elektrickáho poľa je E = 10⁹V/m. Nájdite všeobecný vzťah pre rýchlosť (v(t)) a prejdenú dráhu (x(t)) elektrónu vzhľadom na sústavu v pokoji, ako aj jeho vlastný čas ($\tau$) zodpovedajúci času t v pokojovej sústave. Aké je zrýchlenie elektrónu a jeho kinetická energia v okamihu, keď v = 10⁸m/s?

$[ v(t) = \frac{c \theta t }{\sqrt{1+\theta^{2}t^{2}}}$, $x(t) = \frac{c}{\theta} \left( \sqrt{1+\theta^{2}t^{2}} - 1 \right)$, $\tau = \frac{1}{\theta}\ln{(\theta t + \sqrt{1 + \theta^{2} t^{2}} )}$, kde $\theta$ = eE/m₀c, $\frac{d v}{d t} = \frac{eE}{m_{0}}\left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right)^{3/2} = 1.5 \times 10^{20} ms^{-2}. ]$

16.

Odhadnite energiu elektrónu v atóme vodíka pomocou princípu neurčitosti.

Pre strednú energiu platí $\bar{E} = \frac{\bar{p}^{2}}{2m} - \frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} \bar{r} }$, pričom pre základný stav $\bar{r} \sim \Delta r$ a podobne $\bar{p} \sim \Delta p$. Uvážením $\Delta x \Delta p \approx \hbar$, má $\bar{E}$ minimum pre $\bar{r} = \frac{4 \pi \epsilon_{0} \hbar^{2}}{m e^{2}}$. To dáva 'prekvapivo' dobrý výsledok $\bar{E} = - \frac{m e^{4}}{16 \pi ^{2} \epsilon ^{2} \hbar^{2} }$.

17.

Na najjednoduchšom prípade kvantovej sústavy - častici v nekonečne hlbokej potenciálovej jame - si precvičte 1. hľadanie úplného systému vlastných stavov, 2. normovanie vlnových funkcií, 3. počítanie stredných hodnôt operátorov, 4. nájdite neurčitosť hybnosti a polohy v najnižšom a prvom excitovanom stave, overte princíp neurčitosti, 5. použitím symetrickej geometrie pre jamu (V(x)=0 pre x $\in$ (-a/2,a/2), ináč V(x) = +$\infty$) posúďte symetriu vlnových funkcií, 6. aký bude časový vývoj pravdepodobnosti nachádzania sa častice na mieste x v čase t, ak počiatočný stav je daný lin.kombináciou základného a prvého vzbudeného stavu?

Všetko okrem 6. je v každom úvodnom texte ku kvantovej mechanike, napr. Krempaský Fyzika, Pišút, Černý, Gomolčák Úvod do kvantovej mechaniky. 6. Keďže H(x) = H(-x), potom ( H(x) $\psi(x)$ = E $\psi(x)$ ) = (zámena x -> -x) ( H(-x) $\psi(-x)$ = E $\psi(-x)$ ) = (symetria H(x)) ( H(x) $\psi(-x)$ = E $\psi(-x)$ ). Posledná rovnosť znamená, že $\psi(x)$ a $\psi(-x)$ majú rovnakú vlastnú energiu, t.j. $\psi(x)= c \psi(-x)$. Pretože $\psi(-(-x)) = c^{2} \psi(x)$ dostávame c = $\pm$ 1. To znamená, že každá vlastná funkcia H je buď párna alebo nepárna.

18.

Riešte potenciálovú jamu s konečnou hĺbkou. Aké podmienky musí spĺnať vlonová funkcia z bode, kde je potenciálna energia V(x) nespojitá? Pre hľadaní riešenia využite znalosť symetrie hamiltoniánu. Nájdite počet viazaných stavov na jame s potenciálom V(x) = -V_o pre x $\in$ (-a/2,a/2). Pre akú šírku a potenciál existuje iba jeden viazaný stav? Zdôvodnite opodstatnenosť nulových okrajových podmienok pre nekonečne hlbokú jamu.

Opäť štandardný príklad z štandardných učebníc.

19.

Riešte rozptyl volnej častice na bariére s potenciálom V(x), kde V(x) = V_o > 0 pre $0 \leq x \leq a$ a V(x)=0 inde, t.j. príslušnú Schrödingerovu rovnicu s okrajovou podmienkou $\psi(x \rightarrow - \infty) = Ae^{ikx} + Be^{-ikx}$ a $\psi(x \rightarrow \infty) = Ce^{ikx}$ (viď obr.()). Vlna s A reprezentuje dopadajúcu časť vlnovej funkie, B odrazenú a C prechádzajúcu. Pre aké energie (vlnové dĺžky) nedochádza ku odrazu? Pre aké energie dochádza ku rezonancii, t.j. pre nekonečne malú amplitúdu dopadajúcej vlny A je C aj B konečne veľké? Ako je situácia závislá od rozdielu energii voľnej častici E a potenciálom V_o? Ako sa zmení situácia, pre V_o < 0 a ako to súvisí z lokalizovanými stavmi na takejto potenciálovej jame?

Dobrá rada: Opatí sa, po napísaní podmienok diferencovateľnosti a spojitosti vlnovej funkcie v bodoch nespojitosti potenciálu, pristupovať z nasledovnou úvahou: (1) Ak častica dopadá s amplitúdou E na miesto nespojitosti, s akou amlitúdou sa odráža? t.j. vyjadriť F = f(E), paralelne s tým samozrejme získame aj E = f(C) a F = f(C). (2) Ak častica dopadá s amplitúdou A na miesto nespojitosti, s akou amlitúdou sa odráža? Kompltné riešenie je prístupné v PDF dokumente na www KF( ).

  

Figure: Situácia pri rozptyle častice na bariére (jame).

20.

Kvalitatívnou úvahou (pomocou princípu neurčitosti) odhadnite pre akú bariéru (ako vysokú, ako širokú) je pravdepodobnosť tunelovania častice relatívne veľká, porovnajte s presnými výsledkami predchádzaujúceho príkladu. Ak vieme, že rozhranie kov-kov predstavuje bariéru o veľkosti $\sim 1 eV$, odhadnite šírku takéhoto rozhrania, ak vieme, že elektróny bežne 'tunelujú'.

21.

Cvičenie na H atóm. Nájdite 'prirodzené' atómové jednotky pre problém elektrónu v atóme vodíka (a teda pre akýkoľvek Coulombický elektrónový problém). Ako vyzerá elektrostatické pole generované atómom vodíka ak ten sa nachádza v základnom stave? (Vlnová funkcia $\sim A \exp{(-r/a_{B})}$.)