2.4 Dynamika sústavy hmotných bodov a telesa

2.4.1 Dynamika sústavy hmotných bodov

Sily, ktoré pôsobia na sústavu hmotných bodov (častíc) možno rozdeliť na sily vonkajšie a vnútorné. Pod vonkajšími silami budeme rozumieť sily, ktoré majú príčinu v pôsobení okolitých telies, ktoré do sústavy hmotných bodov nepatria, ale pôsobia na jednotlivé častice sústavy ( i = 1, ..., n) . Výslednicu vonkajších síl pôsobiacich na i-tu časticu označme F_i.

Sily vnútorné majú podstatu vo vzájomnom pôsobení jednotlivých častíc sústavy. Charakterizujú interakcie medzi jednotlivými časticami vo vnútri sústavy. Označme symbolom F_ijtú vnútornú silu, ktorou pôsobíj-ta častica na i-tu časticu a symbolom F_v_ivýslednicu všetkých vnútorných síl pôsobiacich na i-tu časticu od okolitých častíc. F_v_i bude určená vzťahom

(2.4.1)

Celková sila pôsobiaca na i-tu častica F_ci je súčtom celkovej vonkajšej sily a celkovej vnútornej sily pôsobiacej na i-tu časticu, t.j.

(2.4.2)

Celá sústava častíc je podrobená silám

(2.4.3)

Keďže podľa zákonu akcie a reakcie platí F_ij=-F_{ji ,}posledný člen s dvojitou sumáciou sa rovná nule. Rovnicu (2.4.4) možno interpretovať nasledovne: Zmenu pohybového stavu sústavy hmotných bodov (častíc) spôsobuje sila F, ktorá sa rovná vektorovému súčtu vonkajších síl pôsobiacich na sústavu.

(2.4.4)

Ak výslednica všetkých vonkajších síl pôsobiacich na sústavu je nulová (F = 0), hovoríme, že sústava je izolovaná.

Hybnosť sústavy častíc a I. veta impulzová

Definujme celkovú hybnosť sústavy častíc ako vektorový súčet hybností jednotlivých častíc

(2.4.5)

kde m_i je hmotnosť i-tej častice a v_ije rýchlosť i-tej častice. Celkovú hybnosť sústavy hmotných bodov môžeme vyjadriť i cez myslený hmotný bod, ktorý sa nachádza v hmotnom strede sústavy a v ktorom je sústredená celková hmotnosť. Rýchlosť hmotného stredu získame deriváciou jeho polohového vektora, (vzťah (2.2.1):

(2.4. 6)

Pre jeho hybnosť platí

(2.4.7)

Celková hybnosť sústavy hmotných bodov sa rovná hybnosti mysleného bodu, ktorý sa nachádza v hmotnom strede sústavy. Tento bod sa pohybuje rovnakou rýchlosťou s akou sa pohybuje hmotný stred a má hmotnosť celkovej hmotnosti sústavy. Zrýchlenie hmotného stredu dostaneme deriváciou vzťahu (2.4.7):

(2.4.8)

(2.4.9)

Ľavú stranu rovnice (2.49) možno vyjadriť pomocou síl pôsobiacich v sústave:

(2.4.10)

V poslednom súčte každý člen znamená celkovú silu pôsobiacu na i-ty hmotný bod. Uvažujme teraz sily pôsobiace na každý hmotný bod sústavy. Nakoľko pre i-tu časticu platí Newtonov zákon, možno pohybovú rovnicu pre sústavu hmotných častíc, na základe vzťahu (2.4.4) vyjadriť

(2.4.11)

resp. pomocou celkovej hybnosti ako

(2.4.12)

Rovnica (2.4.12) vyjadruje pohybový zákon pre sústavu hmotných bodov, ktorý možno interpretovať: Zmena celkovej hybnosti sústavy za jednotku času sa rovná výslednici vonkajších síl pôsobiacich na sústavu. Vnútorné sily celkovú hybnosť sústavy neovplyvňujú. Rovnicu (2.4.12) možno vyjadriť i pomocou fyzikálnej veličiny impulz sily I :

(2.4.13)

Vzťah (2.4.13) nazývame 1. veta impulzová a možno ju interpretovať: Impulz vonkajších síl pôsobiacich na sústavu hmotných bodov (častíc) sa rovná zväčšeniu celkovej hybnosti sústavy hmotných bodov .

Spojením rovnice 2.4.4 a 2.4.10 dostaneme pre zrýchlenie hmotného stredu rovnicu, ktorú nazývame veta o pohybe hmotného stredu:

(2.4.14)

Hmotný stred sa pohybuje ako hmotný bod, do ktorého je sústredená celková hmotnosť sústavy a v ktorom pôsobí výslednica vonkajších síl. Vnútorné sily nemajú vplyv na pohyb hmotného stredu.

Moment hybnosti sústavy častíc a II. veta impulzová

Moment hybnosti sústavy častíc definujme obdobným spôsobom ako bol definovaný moment hybnosti i -tej častice vzhľadom na vzťažný bod O:

(2.4.15)

kde r_i je polohový vektor i -tej častice vzhľadom na zvolený vzťažný bod, p_i je hybnosť i -tej častice. Pre i -tu časticu platí rovnica

(2.4.16)

pretože pre moment sily každej častice platí

Rovnicu (2.4.16) možno interpretovať : Moment na i -tu časticu pôsobiacej sily sa rovná zmene jeho momentu hybnosti za jednotku času. Obidva momenty vzťahujeme na ľubovolný, avšak pre obidva momenty ten istý vzťažný bod v inerciálnej sústave. Celkový moment sústavy častíc definujme vektorovým súčtom jednotlivých momentov

(2.4.17)

Moment sily M_i pôsobiacej na i -tu časticu možno vyjadriť pomocou celkovej sily pôsobiacej na i -tu časticu rovnicou, ktorú sme označili symbolom F_ci

Po dosadení do vzťahu (2.4.17) dostaneme pre celkový moment výslednej sily pôsobiacej na sústavu častíc vzťah

(2.4.18)

pretože druhý člen v (2.4.18) je nulový, nakoľko v dvojnásobnej sume sa nachádzajú vždy dvojice, pre ktoré platí

(Poznámka: Vektorový súčin je nulový, pretože vektor je rovnobežný s vektorom F_ij.)

Celkový moment hybnosti sústavy častíc L je definovaný ako vektorový súčet momentov hybnosti jednotlivých častíc, t.j.

(2.4.19)

Pre celkový moment výslednice vonkajších síl pôsobiacich na sústavu častíc vzhľadom na zvolený vzťažný bod, po využití rovnice (2.4.19), dostávame

(2.4.20)

Rovnica (2.4.20) predstavuje druhú pohybovú rovnicu pre sústavu hmotných bodov (častíc). Jej úpravou dostaneme II. vetu impulzovú

(2.4.21)

Význam II. vety impulzovej je : Impulz momentov vonkajších vzhľadom na zvolený ľubovolný bod sa rovná prírastku jeho celkového momentu hybnosti.

Zákony zachovania

Ak aplikujeme na I. a II. vetu impulzovú podmienku platnú pre uzavretú sústavu, t.j. výsledná vonkajšia sila pôsobiaca na sústavu hmotných bodov je nulová a hmotnosť sústavy sa nemení, získame zákon zachovania :

1/ Zákon zachovania hybnosti:

Celková hybnosť izolovanej sústavy hmotných bodov ostáva konštantná, t.j. platí

p = p₀(2.4.22)

kdep₀ je hybnosť sústavy v časovom okamžiku na začiatku skúmania sústavy hmotných bodov a p je hybnosť sústavy hmotných bodov v okamžiku skončenia skúmania sústavy.

Zákon zachovania hybnosti možno zapísať i v tvare p = konst. Rovnica (2.4.22) je vektorová rovnica, ktorá je ekvivalentná trom skalárnym rovniciam. V istých prípadoch, podľa silového pôsobenia na sústavu hmotných bodov, môžu nastať prípady, kedy sa zachováva jedna, alebo dve zložky celkovej hybnosti. V prípade, že len niektorá zo zložiek výslednice vonkajších síl pôsobiacich na sústavu hmotných bodov je rovná nule, potom sa odpovedajúca zložka celkovej hybnosti sústavy hmotných bodov zachováva. Ako príklad môžeme uviesť skúmanie pohybu letiaceho kameňa v gravitačnom poli Zeme. Ak zanedbávame odpor prostredia, jedinou pôsobiacou silou na kameň je tiažová sila G = mg, ktorá smeruje zvisle nadol (g = [0,-g,0]). Zvislá zložka hybnosti letiaceho kameňa p_y sa bude meniť, kým zložky p_xa p_z zostávajú konštantné.

Zmenu celkového mementu hybnosti uzavretej sústavy možno dosiahnuť len pôsobením vonkajších síl. Pôsobením vnútorných síl môžeme dosiahnuť len zmenu hybnosti jednotlivých bodov (častíc) sústavy, avšak nie zmenu celkovej hybnosti sústavy.

________________________________

Príklad 2.4.1 Na skyborde o hmotnosti m, ktorý sa pohybuje konštantnou rýchlosťou v₀ stojí dievča o hmotnosti m₁a v ruke drží sklenenú guľu s hmotnosťou m_2.._.Sklenená guľa sa náhle roztrhne na dve časti, pričom časť gule s hmotnosťou m₂₁ odletela rýchlosťou v₂₁ opačným smerom ako pohybujúci sa skybord, Druhá časť gule s hmotnosťou m₂₂ sa pohybovala rýchlosťou v₂₂ v smere zvierajúcim s pohybujúcim sa vozíkom uhol a. Dievča v okamžiku roztrhnutia gule od ľaku zoskočí zo skybordu v opačnom smere pôvodného pohybu skybordu rýchlosťou v₂. Určite rýchlosť v₁ prázdneho skybordu_{, ,}ktorou sa pohyboval v okamžiku roztrhnutia gule.

Riešenie: Sústava častíc, ktorú skúmame sa skladá na začiatku skúmania zo skybordu, na ktorom sa vezie dievča s guľou. Označme hybnosť tejto sústavy p₁_. Po roztrhnutí gule sústava sa skladá z pohybujúceho sa dievčaťa s hybnosťou p_, pohybujúceho sa vozíka s hybnosťou p₂ a pohybujúcich sa dvoch častí gule s hybnosťami p₂₁a p_22.Ak zanedbáme silu trenie skybordu a odporu vzduchu, na každú časť sústavy pôsobí len tiažová sila. Keďže tiažová sila má zvislý smer, neprispieva k zmene vodorovnej zložky celkovej hybnosti sústavy. Vodorovná (x -ová) zložka hybnosti sústavy sa zachováva a platí pre ňu zákon zachovania hybnosti, t.j. vodorovná zložka hybnosti sústavy pred roztrhnutím gule sa rovná vodorovnej zložke hybnosti sústave v okamžiku roztrhnutia gule. Matematické vyjadrenie zákona zachovania hybnosti v súradnicovej sústave s kladnou osou x v smere pohybu skybordu pred roztrhnutím gule je dané rovnicou

p_1x= p_x +p_2x+ p_21x+ p_22x(1)

Po dosadení x-vých zložiek jednotlivých rýchlostí pred roztrhnutím : v₀ = [ v₀, 0 ] a po roztrhnutí:

v₁ = [ v₁, 0 ] , v₂₁ = [- v₂₁, 0 ], v₂₂ = [ v₂₂cos a_,v₂₂sin a ], v₂= [-v₂, 0 ] do rovnice (1) dostaneme

odkiaľ hľadanú rýchlosť prázdneho skybordu v₁ vyjadríme

2/ Zákon zachovania momentu hybnosti:

Celkový moment hybnosti izolovanej sústavy hmotných bodov ostáva konštantný, t.j. platí

L = L₀ (2.4.23)

Overenie platnosti zákona zachovania momentu hybnosti možno uskutočniť ako pre dve telesá, tak i pre uzavretý systém. Prvý príklad možno demonštrovať s chlapcom sediacim na stoličke s otáčajúcim sa sedadlom, ktorý drží činky v úplne roztiahnutých rukách. Nech sediaceho chlapca niekto uvedie do pomalého otáčavého pohybu. V prípade, že chlapec nehybne sedí na stoličke, otáčajúca sa stolička v dôsledku trenia bude zmenšovať svoju rýchlosť otáčania sa, až kým sa nezastaví. Stane sa nejaká zmena v tomto pohybe, ak chlapec rýchlo pritiahne činky k hrudi a opätovne ich roztiahne? Ak v otáčajúcom sa systéme chlapec rýchlo pritiahne ruky s činkami na prsia, zistí, že jeho rýchlosť otáčania sa zväčšuje. Ak ich roztiahne pohyb sa spomaľuje. Kým sa stolička trením nezastaví, môže chlapec týmto spôsobom niekoľkokrát meniť svoju rýchlosť otáčania.

Zväčšenie rýchlosti otáčania súvisí so zmenšením vzdialenosti činiek od osi otáčania. Na rovnakom princípe sú založené pohyby akrobatov alebo baletky, ktorá sa rýchlo otáča. Obvykle dostáva baletka začiatočný moment impulzu od svojho partnera. Vtedy je telo baletky naklonené, začína sa pomalé otáčanie, potom nasleduje prekrásny a rýchly pohyb –baletka sa narovnala. V tejto polohe sú všetky časti tela bližšie k rotačnej osi a zákon zachovania momentu hybnosti spôsobí prudké zvýšenie rýchlosti otáčania.

3/ Zákon zachovania celkovej energie

Uvažujme i-ty hmotný bod sústavy hmotných bodov. Zmena kinetickej energie DE_{ki, ,} podľa vety o kinetickej energie (2.3.45), sa rovná práci všetkých síl pôsobiacich na vybraný hmotný bod. Teda práci síl vnútorných A_i^int i práci síl vonkajších A_i^ext pôsobiacich na i-ty hmotný bod, čo možno zapísať

(2.4.24)

Ak sčítame tieto rovnice pre všetky hmotné body dostaneme

(2.4.25)

Vnútorné sily sú konzervatívne, preto ich prácu môžeme vyjadriť na základe vzťahu (2.3.51) ako pokles potenciálnej energie -DE_p._.

(2.4.26)

Rovnica(2.4.26) hovorí, že pre sústavu hmotných bodov zmena celkovej mechanickej energie sústavy sa rovná práci vonkajších síl. Ak máme systém izolovaný, výslednica vonkajších síl je nulová a teda i práca tejto sily je nulová a platí

D(E_k+ E_p) = 0 (2.4.27)

resp.

E_k +Ep = konst(2.4.28)

V izolovanej sústave hmotných bodov celková mechanická energia sa zachováva.