2.3.7 Sily v neinerciálnych sústavách

 

Skúmajme pohyb častice (resp. hmotného bodu), na ktorý pôsobí sila F. Ak skúmame pohyb častice z hľadiska absolútnej sústavy S, pre časticu  platí Newtonova pohybová rovnica F = ma.  Chceme vedieť ako sa zmení pohybová rovnica tej istej častici,  pohybujúcej sa za rovnakých podmienok, ale vzhľadom na neinerciálnu sústavu S´. Prv než pristúpime k matematickému riešeniu  tohto problému, ozrejmime si ho na nasledujúcom experimente: 

Predstavme si, že sme si urobili výlet do sveta našej slnečnej sústavy. Nasadli sme na raketoplán a  naša Zem je už len maličkou hviezdičkou. Sme ďaleko od príťažlivých telies. Čo sa deje s našimi vecami v raketopláne, ak máme motor vypnutý? Teplomer je v divnej polohe, tak isto kyvadlo hodín sa zastavilo v akejsi  polohe, rôznej od zvislého smeru. Predmety i naše meracie prístroje  sa vznášajú v kabíne. Vysvetliť túto skutočnosť vieme, nenachádzame sa na Zemi, ale v medziplanetárnom priestore, v ktorom predmety stratili tiaž. Čo sa stane, ak sa rozhodneme zapnúť motor raketoplánu a začne sa pohybovať rovnomerne zrýchleným pohybom? Predmety, ktoré sa vznášali okolo nás sa dali do pohybu. Akým smerom a akou rýchlosťou? Ak raketoplán sa pohybuje so zrýchlením 9,81 m.s^-2 cítime sa ako doma. Teplomer „spadol“, hodiny sa dali do vertikálnej polohy. Ak pustíme tenisovú loptičku a zmeriame, s akým zrýchlením padá, dospejeme k výsledku,  že zrýchlený pohyb loptičky bude čo do veľkosti vždy taký, ako zrýchlenie nášho raketoplánu. Smer „padania“ loptičky bude vždy opačný ako smer pohybu raketoplánu. To platí pre všetky predmety vo vnútri lode. Ak sa pohybuje raketoplán dopredu, všetky  predmety sa  pohybujú  smerom opačným - dozadu.  Toto pozorovanie možno sformulovať nasledovne: Ak sa raketoplán pohybuje s určitým zrýchlením, telesá v  ňom začínajú mať „tiaž“. Pritom „príťažlivá sila“ má smer opačný ako vektor zrýchlenia raketoplánu a zrýchlenie voľného „pádu“ telies sa veľkosťou rovná zrýchleniu raketoplánu.  Zaujímavosťou je, že pozorovaním nemôžeme odlíšiť zrýchlený pohyb systému od príslušnej príťažlivej sily. To znamená, že ak okná v raketopláne máme zakryté, nerozlíšime, či je raketoplán v pokoji, alebo sa pohybuje so zrýchlením 9,81 m.s^-2. Rozdiel však je v smeroch pôsobiacich zrýchlení. Na Zemi smeruje príťažlivá sila do stredu Zeme. To znamená, že smery zrýchlenia v dvoch  rôznych  bodoch na Zemi tvoria medzi sebou uhol. V raketopláne, ktorý sa pohybuje zrýchlene, sú smery príťažlivosti vo všetkých bodoch presne paralelné. Na Zemi sa mení zrýchlenie s výškou, v raketopláne so zrýchleným pohybom tento efekt nevzniká. Napriek týmto odlišnostiam možno považovať zrýchlenie a pôsobenie príťažlivej sily za ekvivalentné.

Takmer úplná rovnocennosť zrýchlenia  a pôsobenia príťažlivej sily nazývame princíp ekvivalencie. Tento princíp umožňuje riešiť mnohé úlohy pomocou fiktívnej príťažlivej sily, ktorá sa javí v systémoch pohybujúcich sa zrýchlene. Uvidíme, že pohybovú rovnicu v neinerciálnom systéme je možné riešiť  obdobne ako v inerciálnom systéme, ak k výslednici síl pôsobiacich na teleso pridáme sily fiktívne, súvisiace s neinerciálnosťou systému, ktoré nazveme spoločným názvom  silami zotrvačnými.

Z nášho medziplanetárneho výletu sa vráťme ku kinematike a k  rovniciam pre rýchlosť zloženého  pohybu a  k zrýchleniu zloženého  pohybu. Ukážeme si,  ako súvisia tieto rovnice  s výsledkami nášho experimentu.

Pri skúmaní zloženého pohybu sme si odvodili vzťah (2.1.132) pre zrýchlenie častice pohybujúcej sa v neinerciálnej sústave

 

a´ = a  - a ₀  -  2 (w ´ v´)  - w   ´  (w ´ r´)  -  a ´  r´                                                                                                                  

 

 v ktorej  a₀  určuje  zrýchlenie začiatku pohybujúcej sa sústavy S´, t.j. bodu O´ vzhľadom na začiatok pevnej sústavy, t.j. bod  O ; w a a  sú uhlová rýchlosť a uhlové zrýchlenie sústavy S´ voči sústave S ,  v´ a  r´ je vektor rýchlosti a polohový vektor hmotného bodu v sústave S´. Ak vynásobíme túto rovnicu hmotnosťou uvažovanej častice dostaneme rovnicu

 

 m a´ = m a - m a₀  -  2 m (w ´ v´)  - m w  ´  (w ´ r´)  - m a ´  r´                                  (2.3.35)

 

udávajúcu pohybovú rovnicu hmotného bodu v neinerciálnej sústave F´ = ma´.  F´ predstavuje výslednicu všetkých síl pôsobiacich na hmotný bod v sústave S´. Je určená vektorovým súčtom

 

F´  =  F  +  F₀  +  F_c  +  F_od + F_E                                                                                      (2.3.36)

 

ktorých význam je nasledovný:

·     F je vonkajšia sila pôsobiaca na hmotný bod, majúca pôvod vo vzájomnom pôsobení materiálnych objektov na hmotný bod, preto sa niekedy  tejto sile hovorí sila pravá, resp. sila skutočná.

·     F₀ = - m a₀ je tzv. postupná zotrvačná sila, vznikajúca v dôsledku zrýchleného pohybu začiatku sústavy S´. Pozorovateľovi vo vnútri neinerciálnej sústavy sa javí, že táto sila sa snaží zrýchľovať tento hmotný bod vzhľadom k tejto sústave.

·     F_C = - 2 m(w ´ v´)  je tzv. Coriolisova sila, ktorá pôsobí na telesá pohybujúce sa v neinerciálnej sústave rýchlosťou  v ´ rôznobežnou s osou otáčania.  Jej veľkosť závisí od orientácie vektorov w  a v ´ .

·     F_od   =  - m w  ´  (w ´ r´)  je tzv. zotrvačná odstredivá sila. Táto sila má pôvod v rotačnom pohybe sústavy.  Často sa stretávame s jej názvom ako radiálna príťažlivá sila. (Pozn.: Pri rovnomernom pohybe po kružnici časť 2.1.4 sme sa stretli už s  pojmom odstredivá sila. Jedná sa o rôzne sily).

·     F_E = - (a x r¢ )  je tzv. Eulerova sila, ktorá je od nuly rôzny vtedy, keď uhlová rýchlosť otáčania nie je konštantná, ale sa mení s časom.

Sily, F₀ ,  F_c , F_od  a F_E  nazývame spoločným názvom  zotrvačné sily. Všetky štyri zotrvačné sily sa javia pozorovateľovi v pohybujúcej sa neinerciálnej sústave ako sily poľa, pretože nie sú spôsobené dotykom iných telies. Zatiaľ čo sily F₀ ,  F_E , F_od  existujú nezávisle na pohybe hmotného bodu vzhľadom na  neinerciálnu súradnicovú sústavu S´, Coriolisova sila  F_c existuje len ak smer vektora rýchlosti nie je kolineárny (rovnobežný) so smerom vektora uhlovej rýchlosti a mení sa so sínusom uhla ich vzájomnej orientácie.

U zotrvačných síl nie je možné určiť konkrétne teleso, ktorého pôsobením tieto sily vznikajú. Preto zotrvačné sily nemajú sily reakcie. E. Mach vyslovil predpoklad, že zotrvačné sily vznikajú vo vzťažných sústavách pohybujúcich sa so zrýchlením ( postupným i rotačným) vzhľadom na vzdialené nebeské hviezdy vesmíru. Táto myšlienka zohrala svoju úlohu pri vzniku všeobecnej  teórie relativity. Zotrvačné sily môžu spôsobovať zrýchlenie, konať prácu, je ich možné skladať s inými silami. (Pozn.: Preto nie je najvhodnejšie  používať názov „fiktívne sily“, s ktorým sa v niektorých prípadoch stretávame.) Zo vzťahu pre zotrvačné sily plynie, že zrýchlenia, ktoré udeľujú telesám ( hmotným bodom),  nie sú závislé na ich hmotnosti. Táto vlastnosť ich odlišuje od síl „skutočných“,  ktoré majú pôvod vo vzájomnom pôsobení materiálnych telies. Skutočné resp. pravé  sily, udeľujú telesu zrýchlenie, ktoré je nepriamo úmerné ich hmotnosti (a =F/m).

V neinerciálnych sústavách Newtonov zákon sily neplatí. To znamená, že pohybové rovnice, platné pre inerciálne sústavy, riešiť v neinerciálnej sústave bez istej úpravy nie je možné. Akú úpravu je nutné urobiť?  Náš medziplanetárny experiment a  štruktúra matematického vyjadrenia pohybovej rovnice v neinerciálnej sústave (2.3.35), ktorá má  zhodnú štruktúru „súčin hmotnosti a  zrýchlenia sa rovná sile“  ukázujú, že ak  Newtonovu pohybovú  rovnicu chceme  použiť v neinerciálnej sústave,  ku skutočným silám pôsobiacim na hmotný bod od okolitých materiálnych objektov musíme ešte pripočítať príslušné zotrvačné sily.

Ilustráciu riešenia pohybu v inerciálnej a v neinerciálnej vzťažnej sústave urobíme na príklade hmotného bodu zaveseného na vlákne zanedbateľnej hmotnosti, ak bod závesu vlákna O´ je pevný v sústave, ktorá sa pohybuje vzhľadom k inerciálnej vzťažnej sústave s translačným zrýchlením a₀.

__________________________________________________________________________

Príklad 2.3.7: Nájdite podmienku rovnovážneho stavu  matematického kyvadla zaveseného v pohybujúcom sa vagóne so zrýchlením  a₀  vzhľadom k Zemi  z hľadiska neinerciálnej  vzťažnej sústavy (vagón) a z hľadiska vzťažnej sústavy, ktorú možno považovať za inerciálnu sústavu (Zem).

Riešenie: Matematické kyvadlo je hmotný bod zavesený na nehmotnej niti. Uvažujme sily, ktoré pôsobia na hmotný bod  a) v neinerciálnej vzťažnej sústave: 

·      sila F´, ktorá pôsobí na hmotný bod zo strany závesu,

·      tiaž hmotného bodu G

·      sila zotrvačnosti F₀. (Pozn.: Jedinou nenulovou zotrvačnou silou v prípade translačného pohybu je postupná zotrvačná sila F₀.)

 

Pohybová rovnica hmotného bodu v neinerciálnej sústave, t.j. v sústave pevne spojenej s vagónom je

 

ma´ = F´+ G + F₀

 

pričom stav rovnováhy odpovedá podmienke

 

0 = F´+ G + (- m a´ )

 

Pre uhol a  medzi dvomi polohami kyvadla - v kľude a pri  pohybe so zrýchlením a_0,  platí

 

tg a =

 

b)  v inerciálnej vzťažnej sústave (obr. b) sú to sily:

·      tiaž G

·      sila F´  

 

Pohybová rovnica hmotného bodu v inerciálnej sústave, t.j. v sústave pevne spojenej so Zemou je

 

ma   = F´+ G

 

 a podmienka rovnováhy je

 

ma = F´+ G = m a₀

 

Pre polohu závesu platí

 

tg a =

 

Vidíme, že obidva postupy vedú k rovnakému výsledku.( Pozn.: Musíme mať však na zreteli, že pri riešení problému sme pristupovali osobitne z hľadiska neinerciálneho a osobitne z  hľadiska inerciálneho. Nikdy nemôžeme kombinovať opis súčasne z  hľadisku neinerciálneho i z hľadiska inerciálneho.)

 

___________________________________________________________________________

 

Príklad 2.3.8: Dievča s hmotnosťou m  stojí  na váhach, ktoré sú umiestnené v kabíne výťahu. Rozhodnite, či váhy ukážu  rovnakú výchylku,  ak výťah  a)  je v kľude, b) rozbieha sa so zrýchlením a  smerom nahor  c) pohybuje sa so  spomalením a smerom nahor, d) pohybuje sa so zrýchlením a smerom nadol, e) so  spomalením a smerom nadol.   Kedy bude dievča relatívne najspokojnešie so svojou hmotnosťou, ak dbá o svoju štíhlu líniu? 

Riešenie:

a)  Výťah v pokoji predstavuje inerciálny systém, v ktorom jedinou pôsobiacou silou je tiažová sila . Ak si zvolíme súradnicovú sústavu s osou z orientovanou smerom nadol, pôsobiaca tiaž v tejto sústave je určená G = (0,0,G) . Váhy v pokoji ukážu výchylku, odpovedajúcu tiaži dievčaťa G = mg.

b) Ak sa výťah  pohybuje  so zrýchlením a , jedná sa o neinerciálny vzťažný systém. Ak v ňom cheme uplatniť Newtonovu pohybovú rovnicu musíme k skutočnej tiažovej sile pripočítať sily zotrvačné.  Počas pohybu výťahu so zrýchlením a  vzniká dodatočná príťažlivá sila smerom opačným ako zrýchlenie, ktoré  ju vyvolalo. Pohybová  rovnica vo vektorovom  tvare pre neinerciálny systém bude

 

 ma = G + F₀                    

 

Sila zotrvačnosti (dodatočná príťažlivá sila) a zemská príťažlivosť majú smer v jednej priamke. V prípade  pohybu  výťahu so zrýchlením a smerom nahor, bude  zotrvačná sila F₀ = (0,0, ma ). Vektorová pohybová rovnica prejde  na skalárny tvar

 

                        m a = mg + ma = m(g + a)

 

Váha ukáže väčšiu  výchylku,  zväčšenú práve o súčin ma .

b)  V prípade  pohybu so  spomalením a smerom nahor, vektor zrýchlenia neinerciálnej sústavy má smer nadol, takže dodatočná príťažlivá sila zotrvačnosti má smer opačný, t.j. smerom  nahor

      F₀ = (0,0, - ma ), takže pohybová rovnica prejde na tvar

 

                        m a = mg  - m a = m( g - a)

 

Váha ukáže menšiu výchylku práve o súčin ma  vzhľadom na výchylku váh v stave, keď výťah je v kľude.,

d) V prípade keď výťah sa pohybuje  so zrýchlením a smerom nadol, dodatočná príťažlivá sila   zotrvačnosti má smer opačný t.j.  F₀ = (0,0, - m a)  a pohybová rovnica bude

 

                    m a = m a  - m a = m( g - a)

 

Váha ukáže opäť menšiu výchylku práve o súčin m a.

e) V prípade pohybu výťahu  so spomalením a smerom nadol,  vektor zrýchlenia neinerciálnej sústavy má smer   nahor, takže dodatočná príťažlivá sila zotrvačnosti má smer opačný, t.j. smerom nadol   F₀ = (0,0,  m a). Pohybová rovnica má tvar

 

                     m a = mg  + ma = m( g + a)

 

Váha ukáže väčšiu výchylku odpovedajúcu práve   súčinu  m a.

e) V prípade  pohybu výťahu so  spomalením a smerom nadol vektor zrýchlenia neinerciálnej sústavy má smer  nahor, takže dodatočná príťažlivá sila zotrvačnosti má smer nadol F₀ = (0,0,  ma) a pohybová rovnica má tvar

 

                      m a = mg  + m a = m( g + a)

 

Váhy ukážu väčšiu výchylku práve o súčin m a.

Dievča, ktoré dbá o svoju štíhlu líniu,  bude „ relatívne“   najspokojnejšie so svojou hmotnosťou m, ak  sa bude vážiť  buď v brzdiacom výťahu smerom nahor resp. v rozbiehajúcom sa výťahu smerom nadol. V obidvoch prípadoch váhy  ukážu  menšiu hodnotu, ktorá od skutočnej  tiaže mg sa zmenší o dodatočnú tiaž  m a. V týchto prípadoch  všetky telesá,  ktoré sú vo výťahu, akoby boli ľahšie. Čím väčšie je zrýchlenie výťahu, tým väčšia je strata tiaži.

__________________________________

 

 

Príklad 2.3.9 Fyzikálne vysvetlite pozorované  zmeny pohybového stavu  chlapca stojaceho  v autobuse,  ktorý sa rozbieha  so zrýchlením resp.,  ktorý brzdí.  Svoje úvahy graficky znázornite.

 

Riešenie: Zrýchlene pohybujúci sa autobus je neinerciálny vzťažný systém. Ak chceme riešiť pohybovú rovnicu musíme ku skutočnej tiažovej sile zvážiť i sily zotrvačné. Jedinou zotrvačnou silou je,  opäť ako v prípade výťahu, postupná zotrvačná sila, ktorá má však smer kolmý na zemskú príťažlivosť. To vyvoláva zvláštne pocity u  každého cestujúceho. Ak autobus sa rozbieha so  zrýchlením a (obr. a), vzniká dodatočná sila, ktorá má opačný smer ako zrýchlený  pohyb autobusu.  Zložíme túto silu s príťažlivou silou Zeme. Na chlapca, ktorý je v autobuse, bude pôsobiť sila, ktorá so smerom pohybu zviera  tupý uhol (a ) . Keď chlapec stojí tvárou v smere pohybu, cíti, že sa autobus pohol. Aby nespadol, musí sa postaviť „vertikálne“. Okamžitá vertikála bude šikmá. Chlapcova vertikála zviera ostrý  uhol  () so smerom  pohybu. Ak chlapec bude stáť a nebude sa niečoho držať, určite spadne dozadu. Ak autobus brzdí (obr. b), chlapcova vertikála sa nakláňa dozadu. Chlapcovi v okamžiku začiatku brzdenia  sa zdá, že ho niekto strčil do chrbta  (vertikálu má za chrbtom). V takejto polohe však nezostáva nadlho. Autobus zastavuje, spomalenie sa stráca a „vertikála“ prechádza do pôvodného stavu. Treba opäť meniť polohu tela. Chlapec sa narovná.  Má pocit akoby ho niekto strčil do hrude. 

 

Zotrvačné sily spôsobené rotačným pohybom

 

Nakoľko naša Zem je neinerciálna sústava ozrejmime si viaceré skutočnosti, ktoré súvisia so zotrvačnými silami, s ktorými sa stretávame v praktickom živote. Pohyb rotačného systému sa určuje počtom otáčok za jednotku času, ktoré systém vykoná okolo svojej osi. Treba prirodzene poznať aj smer rotácie.

 

1/   Sila odstredivá

Aby sme si zvláštnosti spôsobené rotačným pohybom ozrejmili uvažujme najprv „koleso smiechu“, ktoré je mám dobre známe z lunaparkov. Je to v podstate hladký disk s priemerom niekoľko metrov, ktorý sa otáča. Možno sa na tomto kolese udržať? Aj tí,  ktorí sa nezamýšľajú nad fyzikou, zo skúsenosti vedia, že sa majú postaviť do stredu disku, pretože čím ďalej od stredu disku sú, tým je ťažšie sa na ňom udržať. Vysvetlime si túto skutočnosť.

Disk predstavuje neinerciálny systém. Každý predmet spojený s diskom sa pohybuje po kružnici s polomerom R so zrýchlením v²/R. Z hľadiska neinerciálneho pozorovateľa to znamená vznik dodatočnej sily  mv²/R, ktorá smeruje pozdĺž polomeru od stredu. Táto sila pôsobí v ľubovolnom bode disku. Pre body, ktoré ležia na tej istej kružnici, bude veľkosť zrýchlenia rovnaká. Určime si jej závislosť od vzdialenosti od stredu.

Označme si počet otáčok, ktoré urobí disk za sekundu  f. Dráha, ktorú  prejde bod nachádzajúci sa na  disku v mieste určenom s polomerom kružnice R za čas t je s = 2pRf  = vt.. Dráha, ktorú prejde tento bod za 1 s je vlastne určená jeho rýchlosťou v = 2pRf.  Pre zrýchlenie po dosadení  za rýchlosť dostávame

 

 

 a =  4p²f²R                                                                                                          (2.3.37)

 

Zrýchlenie sily, pôsobiacej na otáčajúcom sa disku vzrastá  priamo úmerne so vzdialenosťou od stredu kolesa . To znamená, že na rôznych kružniciach bude zotrvačná sila rôzna  a teda aj smery „vertikál“ pre telesá v rôznych vzdialenostiach od stredu disku  budú rôzne. Vyplýva to z vektorového súčtu pôsobiacich síl. Výsledná sila je  určená ako uhlopriečka v obdĺžniku, dvoch navzájom kolmých síl - tiažovej sily, v dôsledku zemskej príťažlivosti a  sily zotrvačnosti, v dôsledku neinerciálnosti systému. Príťažlivá sila Zeme  má vždy rovnakú veľkosť pre všetky body kolesa. Sila zotrvačnosti sa zväčšuje so vzdialenosťou od stredu kolesa a teda výslednica síl sa bude odkláňať tým viac od smeru zemskej vertikály, čím ďalej je bod od stredu disku vzdialený.  

Človek nachádzajúci sa na kolese smiechu sa  tým viac nakláňa, čím je vzdialenejší od stredu kolesa a pri istých rýchlostiach a polomere nie je schopný už  sa na ňom udržať.

Možno si opäť položiť otázku. Je možné vymyslieť taký systém, aby sa človek na tomto otáčajúcom  systéme udržal?  Prirodzene,  je to možné, ale disk by sme museli zameniť za taký, ktorý by mal povrch prispôsobený tak, že výsledná príťažlivá zotrvačná sila by bola všade kolmá na povrch. Na základe výpočtov, tvar takéhoto povrchu bude paraboloid. (Vzniká otáčaním paraboly okolo svojej osi. Každý vertikálny prierez touto plochou je parabola.) Takúto plochu možno napríklad vytvoriť, ak rýchlo roztočíme nádobu s vodou.

Jav odstredivosti sa veľmi využíva v technike. Na použití tohto javu je založená odstredivka. Je to nádoba (bubon), ktorá sa rýchlo otáča okolo svojej osi. Nech  priemer odstredivky je dostatočne veľký a odstredivku naplnenú vodou roztočíme. Vhodíme do nej raz kovovú guličku a neskôr korkovú zátku.. Pozorujeme rozdiel v chovaní sa týchto dvoch predmetov?  Prv než budeme zvažovať chovanie sa v otáčajúcom sa systéme, zvážme ako sa budú tieto dva predmety chovať v nádobe naplnenou vodou v kľude. Kovová gulička sa nám ponorí, kým korková zátka pláva. Pri roztočenom bubne už vieme, že vzniká dodatočná odstredivá  zotrvačná sila, ktorej zrýchlenie so vzdialenosťou od jej stredu priamoúmerne vzrastá. Na základe existencie tejto sily, kovová gulička  bude klesať ku dnu, nie však po našej vertikále. Ustavične sa bude vzďaľovať od osi otáčania a bude sa posúvať  smerom k stene bubna, na ktorom sa až  zastaví. Korková zátka sa bude,  naopak, pohybovať v smere k osi otáčania a tam sa umiestni. Na tomto princípe pracujú odstredivky na čistenie kalnej vody, respektívne, zariadenia na oddeľovanie pevných alebo kvapalných prímesí, ktoré nazývame  separátory.

Ak je hmotný bod v pokoji  a sústava koná len rotačný pohyb s konštantnou uhlovou rýchlosťou (a₀ = 0, a  = 0) na hmotný bod  vzhľadom na neinerciálnu sústavu pôsobí len zotrvačná odstredivá sila

 

F_od = mw´(w´ r´) = m r^´_^w²

 

kde r^´_^ je kolmá vzdialenosť hmotného bodu od osi otáčania. Častá chyba v pochopení odstredivej sily vychádza z toho, že pojem „odstredivá sila“ sa inokedy používa v inom zmysle. Za odstredivú silu je považovaná sila reakcie,  ktorou hmotný bod A rotujúci po kružnici, pôsobiaci na hmotný bod B nútiaci ho, prostredníctvom väzby (vlákna), vykonávať rotačný pohyb. Rovnako veľká a opačne orientovaná sila, ktorou hmotný bod B pôsobí na rotujúci hmotný bod  A, je sila dostredivá, Tieto sily sú však silami pôsobiacimi na dve rôzne telesá. Sú to  skutočné (reálne) sily v zmysle newtonovskej mechaniky, ako výsledok vzájomného pôsobenia materiálnych objektov.

Pokiaľ budeme hovoriť o odstredivej sile, nebudeme ju chápať v tomto zmysle, ale ako zotrvačnú silu existujúcu len v rotujúcej vzťažnej sústave, ktorá  však zanikne, ak sústava prejde do inerciálnej vzťažnej sústavy. Niektoré príklady odstredivých síl a jej technické využitie sme si už uviedli v prebraných príkladoch. Záverom možno zhrnúť:

·     Odstredivá sila sa vyskytuje pri rotačnom pohybe zotrvačníkov, rotorov, elektromotorov a turbín.

·     Odstredivá sila pôsobí na  osoby i telesá  vo vozidlách, konajúcich krivočiary pohyb.

·     Odstredivá sila vyvoláva preťaženie pôsobiace na pilotov  (cestujúcich) pri krivočiarom pohybe lietadla.

·     Odstredivá sila pôsobí na rotujúce nebeské telesá ( umelé družice, planéty).

·     Odstredivá sila zmenšuje príťažlivú gravitačnú silu

_____________________________________________________________________

Príklad 2.3.10: Rozhodnite, či tiaž telesa na póle a na rovníku je rovnaká. Svoje tvrdenie fyzikálne zdôvodnite. Určite o koľko je ľahšie kilogramové závažie na rovníku ako na póle za  predpokladu, že Zem má presne tvar gule o polomere R.

 

Riešenie: Telesá nachádzajúce sa na rôznych miestach zemského povrchu sa nachádzajú v rôznych vzdialenostiach od osi Zeme, čo závisí od jeho zemepisnej šírky. Pri prechode od pólu k rovníku sa táto vzdialenosť zväčšuje.  Odstredivá sila je určená

 

a_od = - w  ´  (w ´ r´) 

 

Ak si vyjadríme uhlovú rýchlosť otáčania Zeme w pomocou počtu otáčok za jednotku času f, pre veľkosť odstredivého zrýchlenia platí vzťah

 

a_od = 4 p² f² r´

 

Teleso na póle je na osi otáčania,  takže r´ = 0 a odstredivé zrýchlenie je rovné nule. Na póle zotrvačná odstredivá sila nepôsobí. Tiaž telesa na póle je určená len silou mg. Odstredivá zotrvačná sila sa pri prechode od pólu k rovníku zväčšuje, pretože sa zväčšuje vzdialenosť telesa od osi rotácie. Na rovníku je odstredivá sila maximálna. Odstredivá sila má smer pozdĺž polohového vektora r´ . Označme si  G_r tiaž, ktorú nameriame na rovníku.

 

G_r = mg_r = m (g - a_od) = m (g - 4 p² f² R)

 

Zmena tiaže na rovníku bude pre teleso o hmotnosti m

 

D G = G - G_r =  m 4 p² f² R

 

Po číselnom vyjadrení dostaneme pre zmenu tiaže kilogramového závažia

 

D G = 1 kg.  4. 3,14². (1/86 400 s)². 6 378 000 m = 0,033778 N

 

Pozn. V skutočnosti stráca kilogramové závažie ešte viac, pretože Zem je elipsoid (sploštená guľa). Vzdialenosť od pólu do stredu Zeme je menšia ako polomer Zeme na rovníku, priemerne o 1/300 jeho veľkosti.

 

Kontrolné otázky k časti 2.3.7

 

1.     Vysvetlite pojem sily fiktívne resp. zotrvačné a uveďte ich príklad.

2.     Zapíšte rovnicou Coriolisovú silu a vysvetlite jej význam.

3.     Kedy vzniká Coriolisová sila? Uveďte konkrétne príklady.

4.     Napíšte matematicky zotrvačnú odstredivú silu. V ktorých systémoch sa s ňou stretávame?

5.     Čo rozumieme pod pojmom „zotrvačné sily“?

6.     Pri pohybe výťahu máme niekedy zvláštne pocity v žalúdku. Viete vysvetliť ich príčinu?

7.     Prečo strácame rovnováhu, ak stojíme v rozbiehajúcom sa, alebo brzdiacom autobuse?

8.     Akým smerom sa budeme pohybovať, v prípade, že sa nedržíme pri jazde autobusom a autobus prudko začne brzdiť?

9.     Ak rieka tečie v smere zemského poludníka, vymývajú sa obidva brehy rovnako? Svoju odpoveď fyzikálne zdôvodnite.

10.  Ako vysvetlíte vírivý  pohyb vody pri jej  vypúšťaní  z umývadla?

11.  Vyteká voda z umývadla rovnako na severnej a južnej pologuli? Svoju odpoveď zdôvodnite.