6.1.12.2 Potenciál a elektrické pole sústavy nábojov vo väčšej vzdialenosti

Postup uvedený v predchádzajúcom odseku môžeme zovšeobecniť na ľubovoľnú sústavu nábojov, ktorá je obmedzená na malú oblasť priestoru a potenciál budeme počítať mimo tejto oblasti. Počiatok súradnicovej sústavy umiestnime do tejto oblasti.  V bodoch určených polohovými vektormi a₁, a₂,… a_n sa nachádzajú náboje q₁, q₂, ..., q_n. Pozri obr. 6.1.11.3.

Potenciál sústavy v bode r je

                                                                                           (6.1.88)

Vo väčších vzdialenostiach od tejto sústavy je  << 1. Potom platí

                                      (6.1.89)

Výraz a_icosa_i môžeme vyjadriť cez skalárny súčin vektora a_i a polohového vektora r

                                                                                                             (6.1.90)

Potom pre celkový potenciál dostaneme

                         (6.1.91)

Vidíme, že potenciál j sa skladá z dvoch členov. Prvý obsahuje súčet všetkých nábojov sústavy Q =  a klesá s 1. mocninou vzdialenosti r. Druhý člen obsahuje vektorový súčet výrazov q_i a_i, ktorý budeme označovať ako celkový “dipólový moment”  sústavy nábojov

                                                                                                               (6.1.92)

Výsledný potenciál sústavy je

                                                                                                  (6.1.93)

Keby sme v našom priblížení akceptovali aj vyššie mocniny  dostali by sme ďalšie členy, ktoré odpovedajú vyšším momentom charakterizujúcim rozloženie náboja (kvadrupól, oktupól atd.). Derivovaním výrazu (6.1.93) dostaneme ihneď vyjadrenie pre elektrické pole sústavy

      

                                                                                                                                        (6.1.94)

Často sa stáva, že výsledný elektrický náboj sústavy Q je rovný nule - sústava (teleso) je elektricky neutrálna, avšak vo výraze pre pole zostáva príspevok od dipólového momentu p

                                                                         (6.1.95)

Ak zvolíme osi súradnicovej sústavy tak, aby os z bola rovnobežná so smerom dipólo-vého momentu p, potom p = pk a

                                                                                                        (6.1.96)

                                                                                      (6.1.97)

Siločiary elektrostatického poľa dipólu sú znázornené na obr. 6.1.11.4.