menu

6.1.12 Približné vyjadrenie potenciálu a elektrostatického poľa sústavy nábojov

V tomto odseku sa budeme zaoberať približným vyjadrením potenciálu a vektora elektrického poľa sústavy elektrických nábojov. V praxi sa totiž často vyskytuje situácia, že elektrické náboje sú lokalizované v malej oblasti priestoru a nás zaujíma potenciál a elektrické pole iba vo väčšej  vzdialenosti od takejto oblasti. Tento postup si najprv ukážeme na najjednoduchšej sústave nábojov - elektrickom dipóle a potom ho zovšeobecníme.

 

6.1.12.1 Elektrický dipól

Uvažujme dva náboje rovnako veľké, ale opačného znamienka, ktoré sú umiestnené blízko seba. Situácia je znázornená na obr. 6.1.11.1. Takúto sústavu nábojov nazývame elektrickým dipólom.

Začiatok súradnicovej sústavy umiestnime do stredu medzi oboma nábojmi. Os z budeme voliť v smere spojnice týchto nábojov. Vzdialenosť medzi nábojmi označíme ako a. Polohový vektor kladného náboja q+ označíme ako a+, polohový vektor záporného náboja q- je a- . Pre potenciál tejto sústavy nábojov zrejme platí

 

                                                               (6.1.79)

 

Obr.6.1.11.1 Elektrický dipól.

Ako sme už zdôraznili, zaujíma nás potenciál a pole v oblasti, kde

                                                                 (6.1.80)

Všimnime si,  ako sa dá na základe tejto podmienky upraviť výraz

                                        (6.1.81)

Druhý a tretí člen v zátvorke sú veličiny veľmi malé oproti 1. V takom prípade sa dá na mnohočlen v zátvorke aplikovať "zovšeobecnená binomická veta"

                                                                                    (6.1.82)

ak  |e|<< 1 a "binomické" koeficienty  počítame podľa známeho vzťahu bez ohľadu na to, že r je racionálne číslo

                                                                                              (6.1.83)

Exaktne možno vzťah (6.1.83) odvodiť rozvinutím výrazu na ľavej strane (6.1.82) do Taylorovho rozvoja v okolí e = 0. Formula (6.1.82) je veľmi užitočná pri rôznych fyzikálnych úvahách, nakoľko nám umožňuje postupovať systematicky pri zanedbávaní malých veličín. V našom prípade sa obmedzíme iba na veličiny prvého rádu, teda  a všetky vyššie mocniny budeme zanedbávať. Tým dostaneme

 

                                       (6.1.84)

 

Podobne dostaneme

                  (6.1.85)

kde sme využili vlastnosť funkcie kosínus

cosb = cos(p-a) = - cosa                                                                            (6.1.86)

Tým pre výsledný potenciál dostaneme vzťah

                   

              (6.1.87)

 

Obr. 6.1.11.2

 

Vidíme, že vo väčších vzdialenostiach r od dipólu jeho potenciál klesá s druhou mocninou tejto vzdialenosti. Možno očakávať, že elektrické pole bude potom klesať s treťou mocninou vzdialenosti r. Toto nie je v rozpore s Coulombovým zákonom, nakoľko vzťah (6.1.87) predstavuje približný výraz pre potenciál. Priebeh ekvipotenciálnych hladín elektrického dipólu je znázornený na obr. 6.1.11.2

 


menu