V
tomto odseku sa budeme zaoberať približným vyjadrením potenciálu a vektora elektrického
poľa sústavy elektrických nábojov. V praxi sa totiž často vyskytuje situácia,
že elektrické náboje sú lokalizované v malej oblasti priestoru a nás zaujíma
potenciál a elektrické pole iba vo väčšej
vzdialenosti od takejto oblasti. Tento postup si najprv ukážeme na najjednoduchšej
sústave nábojov - elektrickom dipóle a potom ho zovšeobecníme.
Uvažujme dva náboje rovnako veľké, ale opačného znamienka, ktoré sú
umiestnené blízko seba. Situácia je znázornená na obr. 6.1.11.1. Takúto sústavu
nábojov nazývame elektrickým dipólom.
Začiatok súradnicovej sústavy umiestnime do stredu medzi oboma nábojmi.
Os z budeme voliť v smere spojnice
týchto nábojov. Vzdialenosť medzi nábojmi označíme ako a. Polohový vektor kladného náboja q+ označíme ako a+, polohový vektor záporného náboja q- je a- . Pre potenciál tejto sústavy nábojov
zrejme platí
(6.1.79)

Obr.6.1.11.1 Elektrický dipól.
|
Ako sme už zdôraznili,
zaujíma nás potenciál a pole v oblasti, kde
(6.1.80)
Všimnime si, ako sa dá na
základe tejto podmienky upraviť výraz
(6.1.81)
Druhý a tretí
člen v zátvorke sú veličiny veľmi malé oproti 1. V takom prípade sa dá na mnohočlen
v zátvorke aplikovať "zovšeobecnená binomická veta"
(6.1.82)
ak |e|<< 1 a "binomické" koeficienty počítame podľa známeho vzťahu bez ohľadu na
to, že r je racionálne číslo
(6.1.83)
Exaktne možno
vzťah (6.1.83) odvodiť rozvinutím výrazu na ľavej strane (6.1.82) do Taylorovho
rozvoja v okolí e = 0. Formula (6.1.82) je veľmi užitočná pri rôznych fyzikálnych úvahách,
nakoľko nám umožňuje postupovať systematicky pri zanedbávaní malých veličín. V
našom prípade sa obmedzíme iba na veličiny prvého rádu, teda
a všetky vyššie
mocniny budeme zanedbávať. Tým dostaneme
(6.1.84)
Podobne dostaneme
(6.1.85)
kde sme využili
vlastnosť funkcie kosínus
cosb = cos(p-a) = - cosa (6.1.86)
Tým pre výsledný potenciál dostaneme vzťah

(6.1.87)

Obr.
6.1.11.2
|
Vidíme, že vo väčších vzdialenostiach r od dipólu jeho potenciál klesá s druhou mocninou tejto vzdialenosti.
Možno očakávať, že elektrické pole bude potom klesať s treťou mocninou vzdialenosti
r. Toto nie je v rozpore s Coulombovým
zákonom, nakoľko vzťah (6.1.87) predstavuje približný výraz pre
potenciál. Priebeh ekvipotenciálnych hladín elektrického dipólu je znázornený
na obr. 6.1.11.2