Vo fyzike a technických disciplínach sa stretávame s veličinami, na úplné určenie ktorých postačuje zadať jedinú číselnú hodnotu. Pre takéto veličiny, medzi ktoré patria napr. teplota, hmotnosť, alebo objem, používame názov skalárne veličiny (stručne skaláry). Často sa však stretávame s veličinami, ktoré charakterizujeme nie iba ich veľkosťou, ale aj smerom v priestore. Nazývame ich vektorové veličiny (stručne vektory). Navyše je pre ne typický spôsob sčitovania, ktorý geometricky znázorňujeme pomocou skladania úsečiek. Medzi vektorové veličiny patrí napríklad rýchlosť, sila, alebo intenzita elektrického poľa. Na úplné určenie vektorovej veličiny v trojrozmernom priestore, vzhľadom na potrebu vyjadriť nie iba jej veľkosť, ale aj smer, treba zadať tri číselné hodnoty, ktorým hovoríme súradnice vektora (vektorové súradnice).

Veľkosť vektorových veličín sa zapisuje jednoduchým písmom (nie tučným, resp. bez šipky nad písmenom) : b, E, f , alebo sa vektor vloží mezi značky vyjadrujúce absolútnu hodnotu : | a| , | E| , resp. . Veľkosť vektora sa nazýva aj absolútna hodnota, je vždy nezáporná.

Vektory rovnobežné s jednou priamkou nazývame kolineárne, vektory rovnobežné s jednou rovinou komplanárne. Kolineárne vektory môžu mať rovnaký, alebo navzájom opačný smer.

a + b = b + a . (1.1.1)

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) (1.1.2)

Ak pred vektor napíšeme znamienko "mínus", napríklad -a , podľa pravidiel vektorovej algebry to predstavuje vektor, ktorý má rovnakú veľkosť ako vektor a , ale má opačný smer. Nový vektor možno označiť ako vektor b, a zapísať rovnosť b = -a . Vektory a , b sú teda kolineárne. Takéto označenie umožňuje zaviesť odčítanie (rozdiel) vektorov. Rozdiel vektorov c - d = f chápeme ako súčet vektorov c a (-d), t.j. f = c + (-d) .

Rovnicu c - d = f možno upraviť rovnako, ako rovnicu s obyčajnými číslami, napríklad vektor d previesť na pravú stranu rovnice : c = d + f . Takto upravená rovnica môže poslúžiť na overenie správnosti vykonanej operácie.

Dva nekolineárne vektory, napr. a, b , môžeme chápať ako strany rovnobežníka. Graficky ukážte, že ich súčet a rozdiel predstavujú uhlopriečky tohto rovnobežníka.

b = sa , (1.1.3)

kde s môže predstavovať nie iba bezrozmerné číslo, ale aj skalárnu veličinu. Napríklad v kinematike sa stretneme s výrazom vt , teda súčinom vektora rýchlosti a času. Tak dostaneme novú fyzikálnu veličinu, ktorej veľkosť a fyzikálny rozmer sú súčinom veľkostí, resp. rozmerov vektorovej a skalárnej veličiny. V literatúre o vektorovom počte sa táto operácia nazýva skalárny násobok vektora.

Jednotkový vektor má veľkosť rovnajúcu sa číslu 1, je bezrozmerný. S výhodou ho možno použiť na vyjadrenie viacerých vektorov, ktoré sú s ním rovnobežné. Nech j je jednotkový vektor, a nech vektory a, b, c sú s ním súhlasne rovnobežné. Preto ich možno vyjadriť ako skalárne násobky jednotkového vektora, pričom skalármi, ktorými jednotkový vektor násobíme, sú veľkosti týchto vektorov : a = a j , b = b j , c = c j . Situácia sa môže skomplikovať, ak niektorý z vektorov má opačný smer ako jednotkový vektor. Vtedy pred skalárny násobok vektora j treba pripísať znamienko "mínus". (Pozri ďalej - rozklad vektora, súradnice vektora).

Nakreslite štvoruholník, ktorého strany nie sú rovnako dlhé. Dokážte, že ak by sa uhlopriečky štvoruholníka pretínali vo svojich stredoch, musel by to byť rovnobežník. (Obr. 1.1.4)

Riešenie : Najprv treba označiť všetky štyri strany štvoruholníka ako vektory. Podľa obrázku dokážeme určiť vektory smerujúce z vrcholu A do stredov uhlopriečok. Do stredu uhlopriečky u smeruje vektor p = (1/2) u = (1/2)(a + + c) a do stredu uhlopriečky v vektor

q = a + (1/2)(b - a) = (1/2)(a + b) .

Ak majú byť stredy uhlopriečok totožné, musia byť vektory p a q rovnaké :

(1/2)(a + c) = (1/2)(a + b) ,

z čoho bezprostredne vyplýva rovnosť vektorov b a c . Majú teda rovnakú veľkosť aj smer, preto sú rovnobežné, tvoria dve strany rovnobežníka. Výsledok pre ďalšie dve strany získame úvahou o vektore u. Platí u = c + a a súčasne u + d = b, čiže u = b - d a s využitím rovnosti b = c aj u = c - d . Porovnaním dvoch vyjadrení vektora u dospejeme k výsledku a = - d . Teda aj tieto vektory sú rovnobežné, majú rovnakú veľkosť, ale opačný smer.

V priamkach, do ktorých rozkladáme vektor a , môžeme zvoliť jednotkové vektory, ktoré označíme e₁ a e₂ . Jednotkovými vektormi sú potom určené príslušné smery. Zložky p a q vyjadríme ako skalárne násobky vektorov e₁ a e₂ : p = a_pe₁ , q = a_qe₂ . Vektor e₁ však môže mať opačný smer ako zložka p , a vtedy skalár a_p pred vektorom e₁ musí byť záporný. Preto skalár a_p nepredstavuje veľkosť vektora p, ale je jednou zo súradníc rozloženého vektora a vo vzťažnej sústave určenej vektormi e₁ a e₂ . Vektor a možno po takomto rozklade na zložky vyjadriť v tvare

a = p + q = a_pe₁ + a_qe₂ . (1.1.4)

O takomto vyjadrení hovoríme, že vektor a je lineárnou kombináciou vektorov e₁ a e₂ .

V trojrozmernom priestore musí byť vzťažná sústava určená tromi vektormi e₁ , e₂ a e₃ , o ktorých hovoríme, že tvoria jej bázu . Vo všeobecnosti to ani nemusia byť jednotkové vektory. Najčastejšie sa však používa rozklad do troch navzájom kolmých smerov, určených jednotkovými vektormi so zaužívaným označením i, j, k . Stotožňujú sa so smermi súradnicových osí x, y, z karteziánskej súradnicovej sústavy. Ľubovoľný vektor f možno pomocou takejto trojice jednotkových vektorov vyjadriť ako ich lineárnu kombináciu

f = f_x i + f_y j + f_z k . (1.1.5)

V tomto vyjadrení vektora f sú f_x , f_y a f_z jeho súradnice, ktoré môžu byť kladné, i záporné podľa toho, aký je jeho smer vzhľadom na jednotkové vektory. Na obr. 1.1.6 je znázornený dvojrozmerný prípad, pričom vektor g má zápornú súradnicu g_x , ostatné súradnice vektorov f a g sú kladné.

Veľkosť vektora f možno v karteziánskej súradnicovej sústave vyjadriť pomocou jeho súradníc, použitím Pythagorovej vety

. (1.1.6)

Vektor f zviera s vektormi i, j, k smerové uhly a , b , g , pre ktoré platia vzťahy

, (1.1.7) ktoré si možno overiť na dvojrozmernom obrázku 1.1.6 .

Zo vzťahov (1.1.7) pre kosínusy smerových uhlov (smerové kosínusy) bezprostredne vyplýva rovnosť

cos^2a + cos^2b + cos^2g = 1 (1.1.8)

takže pre súradnice výsledného vektora c platí

c_x = ( a_x+ b_x) , c_y = (a_y + b_y) , c_z = (a_z + b_z ) . (1.1.10)

Pre skalárny násobok vektora vyjadreného v zložkách platí :

sa = s ( a_x i + a_y j + a_z k ) = sa_x i + sa_y j + sa_z k (1.1.11)

Príklad 1.1.3 Vypočítajte súčet vektorov a = 3 i + 2 j - k  a b = -i + 2 j - 2 k .

Riešenie : c = a + b = (3 - 1)i + (2 + 2)j + (-1 -3)k = 2 i + 4j - 3k , takže súradnice vektora c sú : c_x = 2 , c_y = 4 , c_z = -3 .

Príklad 1.1.4 Vyjadrite vektor d, ktorý má trojnásobnú veľkosť a opačný smer ako vektor a = 3 i + 2 j - k .

Riešenie : d = (-3)a = (-3)(3 i + 2 j - k ) = -9 i - 6 j + 3k . Presvedčte sa , že veľkosť vektora d je naozaj trojnásobná v porovnaní s veľkosťou vektora a .

1. Dva vektory, ktoré majú rovnakú veľkosť a rovnaký smer, nemajú spoločný začiatočný bod. Sú takéto vektory rovnaké ?
2. Dva rovnobežné vektory majú vzájomne opačný smer. Sú kolineárne ?
3. Kedy sú vektory komplanárne ?
4. Závisí výsledok súčtu dvoch, prípadne viacerých vektorov od poradia v ktorom ich sčitujeme ?
5. Možno rozdiel dvoch vektorov vyjadriť pomocou vektorového súčtu ?
6. Ako možno z daného vektora vytvoriť vektor opačného smeru, navyše s päťnásobnou veľkosťou ? Ako sa príslušná operácia nazýva ?
7. Aké vlastnosti má jednotkový vektor ?
8. Získame súčtom dvoch vzájomne kolmých jednotkových vektorov opäť jednotkový vektor ?
9. Ako rozkladáme vektor (v rovine) do dvoch vopred zadaných smerov ?
10. Možno vektor rozložiť do dvoch smerov, ktoré zvierajú uhol väčší než 90 ^o ?
11. Uveďte čo rozumieme pod lineárnou kombináciou vektorov !
12. Možno vektor vyjadriť ako lineárnu kombináciu vektorov, ktoré nie sú jednotkové ?
13. Čo je to báza vo vzťažnej sústave ?
14. Aký je rozdiel medzi zložkami a súradnicami vektora ?
15. Čo sú smerové uhly a smerové kosínusy vektora ?
16. Ako vypočítame veľkosť vektora, keď poznáme jeho súradnice v karteziánskej súradnicovej sústave ?
17. Ak poznáme súradnice dvoch vektorov, ako vypočítame súradnice vektora, ktorý vznikne ich súčtom ?