Príklad 4.1.6.2  

Nájdite rozdelenie častíc plynu podľa veľkosti voľnej dráhy.

 

Riešenie:

Nájdeme počet častíc plynu, ktoré majú voľné dráhy v rozmedzí x a (x + dx). Na dráhe s jednotkovou veľkosťou sa častica zrazí s inými časticami krát a na dĺžke dx vykoná zrážok. Predstavme si, že N častíc letí pozdĺž osi x. Na dráhe dx vykonajú tieto častice zrážok. Pri každej zrážke jedna z častíc ubudne z počtu tých častíc, ktoré ešte nevykonali zrážku. Potom dôsledkom zrážok je -dN úbytok z tých častíc, ktoré letia bez zrážky. Tento úbytok sa rovná počtu zrážok, ktoré vykoná časť dN z N častíc na úseku dx

 

  ,                                                                                                                                    (a)

 

t.j. počet častíc, ktoré vykonali zrážku je priamo úmerný počtu letiacich častíc N. Z rovnice (a) dostaneme

 

 , 

 

odkiaľ po integrovaní    

 

  . 

 

Konštantu c nájdeme z podmienky, že v mieste x = 0 je N₀ častíc. Po dosadení tejto podmienky do poslednej rovnice dostaneme c =  ln N₀. Rovnicu môžeme napísať ako

  ,

 

 alebo po úprave

 

      .                                                                                                                                    (b)

 

N je počet častíc, ktoré preletia dráhu x bez zrážok.  Časť z týchto častíc (ich počet sa rovná dN) sa zrazí na priľahlom úseku dx. Ich počet udáva vzťah (a). Po dosadení (b) dostaneme

 

    .                                                                                                                     (c)

 

Vzťah (c) predstavuje počet častíc, ktoré bez zrážok prejdú dráhu dĺžky x a zrazia sa vo vzdialenosti

x + dx od počiatku. Začiatok osi x si môžeme zvoliť ľubovoľne.

 

Zistíme ešte koľko častíc prejde vzdialenosť .

 

Po dosadení do (b) dostaneme 

 

,

 

t.j. len približne tretina častíc prejde bez zrážok túto, alebo väčšiu vzdialenosť.