6.1.10.3 Elektrické pole gule nabitej iba na povrchu

Uvažujme dutú sféru s polomerom R, ktorá nesie na povrchu elektrický náboj s plošnou hustotou s. Situáciu znázorňuje obr. 6.1.9.3 Dutosť telesa (gule) predpokladáme z toho dôvodu, aby sme sa vyhli vzájomnému pôsobeniu náboja na povrchu gule s nábojmi v látke, z ktorej je teleso.  Je to zložitý problém, ktorému sa budeme venovať až v ďalšej kapitole.

Budeme postupovať podobne ako v predchádzajúcom prípade. Stred súradnicovej sústavy umiestnime do stredu gule. Pre úlohu je typická sférická symetria, z čoho vyplýva radiálny smer vektora E. Jeho veľkosť E je potom funkciou iba vzdialenosti r od stredu.

Plochu S budeme voliť ako sférickú plochu o polomere r. Na tejto sférickej ploche je potom vektor E  vždy rovnobežný s miestnou normálou n a pre tok elektrostatického poľa dostaneme

                                                                                   (6.1.55)

Teraz musíme rozlišovať dva prípady r < R a r > R. Ak r < R, tak vo vnútri gule nie je žiaden elektrický náboj, a preto tok Y = 0. Z toho ihneď vyplýva

 

          E = 0 ,    ak r < R                                                                                         (6.1.56)

 

 

V druhom prípade, ak r > R, tak vo vnútri plochy S sa nachádza všetok náboj, ktorý je na povrchu nabitej gule, takže podľa Gaussovej vety platí

                                                                                    (6.1.57)

z čoho vyplýva

           ,     ak r > R                                                                            (6.1.58)

Závislosť intenzity poľa od vzdialenosti r od stredu gule je znázornená na obr. 6.1.9.3.

Na funkčnej závislosti E(r) nás prekvapuje nespojitosť v bode r = R. Tu si znova  musíme pripomenúť, že sme pracovali s abstrakciou gule, kde sa náboj na povrchu rozkladá v nekonečne tenkej vrstve. V skutočnosti, ak máme teleso nabité na povrchu, tak tento elektrický náboj sa vždy rozprestiera vo vrstve konečnej hrúbky. Výpočty ukazujú, že napríklad v kovoch hrúbka takejto vrstvy predstavuje niekoľkých atomárnych rovín, čo je však z makroskopického hľadiska zanedbateľná hrúbka. V rozsahu takejto veľmi tenkej vrstvy potom elektrické pole spojito narastá z nuly na konečnú hodnotu tesne nad povrchom ( E(R) = s / e_o)