GRAVITAČNÉ POLE

1. Dve medené gule s polomermi r₁ = 2 cm, r₂ = 3 cm, sa dotýkajú. Aká je gravitačná potenciálna energia tejto sústavy ? ($\rho$ = 8,6.10³ kg/m³)

[ $E_P = -G(\frac{4}{3}\pi \rho )^2\frac{r_1 ^3r_2 ^3}{r_1+r_2}$ = -3,74.10^-10 J (G je gravitačná konštanta)]

2 V kovovej homogénnej guli s polomerom R je vytvorená dutina s polomerom r = R/2 (obr.). Hmotnosť tejto gule bez dutiny je M . Akou veľkou silou pôsobí toto teleso na malú guľôčku hmotnosti m , ktorej stred leží na osi symetrie telesa a je od stredu pôvodnej gule vzdialený o dĺžku d ?

[ $F = GmM[\frac{1}{d^2}-\frac{1}{8(d-R/2)^2}]$ ]



3. Akou veľkou gravitačnou silou pôsobí homogénny drôt hmotnosti m ohnutý do tvaru kružnice s polomerom R na hmotný bod s hmotnosťou M ležiaci na osi kružnice vo vzdialenosti a od jej stredu ?

[ $F = G\frac{Mma}{(R^2+a^2)^{3/2}}$ ]



4. Vypočítajte potenciál a intenzitu gravitačného poľa homogénneho drôtu hmotnosti m ohnutého do tvaru kružnice s polomerom R v bode P na osi kružnice vo vzdialenosti a od jej stredu.

[ $V = -G\frac{m}{\sqrt{a^2+R^2}}, \ \ {\bf E} = G\frac{ma}{(a^2+R^2)^{3/2}}{\bf \nu}$, kde ${\bf \nu}$ je jednotkový vektor kolmý na rovinu drôtu a orientovaný ku drôtu. ]

5. Určte veľkosť gravitačného zrýchlenia g ako funkciu vzdialenosti h od zemského povrchu, keď poznáte polomer Zeme R a zrýchlenie g₀ na povrchu Zeme.

[ $g = g_0(\frac{R}{R+h})^2$ ]

6. V akej vzdialenosti od povrchu Zeme má gravitačné zrýchlenie veľkosť 1 m/s² , keď polomer Zeme R = 6378 km a na povrchu Zeme g₀ = 9,81 m/s² .

[ $h = R(\sqrt{\frac{g_0}{g}}-1)$ = 13598,5 km ]

7. Typická neutrónová hviezda má hmotnosť Slnka (m = 2.10³⁰ kg) , ale polomer len R = 10 km. Vypočítajte

a) aké je gravitačné zrýchlenie na povrchu hviezdy,

b) akú rýchlosť získa voľne padajúce teleso na dráhe dĺžky s = 1 m .

[ a) g = Gm/R² = 13,34.10¹¹ m/s², b) $v = \sqrt{2sg}$ = 1,633.10⁶ m/s ]

8. V akom vzťahu je výška veže H s hĺbkou šachty h , keď na vrchole veže a na dne šachty je doba kmitu toho istého matematického kyvadla rovnaká ? Polomer Zeme $R\gg H$.

[ $h = H \frac{R(2R+H)}{(R+H)^2} \simeq 2H$ ]

9. Nájdite zrýchlenie, ktorým by padali telesá na povrchu Mesiaca ak predpokladáme, že na telesá pôsobí len gravitačné pole Mesiaca a keď vieme, že medzi hmotnosťami a polomermi Mesiaca a Zeme platia vzťahy $M_M \simeq$ 1/81 M_Z , $R_M \simeq$ 1/4 R_Z .

[ $g_M \simeq \frac{16}{81}g_0$ = 1.938 ms-2 ]

10. Nájdite hodnotu rýchlosti v₀ , ktorú treba udeliť v smere zvislom nahor telesu nachádzajúcemu sa na povrchu Zeme, aby sa dostalo do výšky h = R_Z . Odpor prostredia neuvažujte, R_Z = 6370 km .

[ $v_0 = \sqrt{g_0R_Z}$ = 7,905 km/s ]

11. Akú rýchlosť treba udeliť rakete nachádzajúcej sa na povrchu Zeme, aby sa vymanila z jej gravitačného poľa ? ( R = 6378 km, g₀ = 9,81 m/s² ).

[ $v = \sqrt{2g_0R}$ = 11,2 km/s ]

12. Ak skokan vyskočí na povrchu Zeme do výšky h_Z = 1,2 m , do akej výšky h_M vyskočí na Mesiaci, ak pri odraze vyvinie rovnaký impulz ako na Zemi ? Hmotnosť a polomer Mesiaca: M_M = 6,7.10²² kg , R_M = 1,6.10⁶ m .

[ $h_M = \frac{g_0}{g_M}h_Z = 6,742 m$ ]

13. Teleso s hmotnosťou m sa nachádza najprv na povrchu Zeme, potom vo výške h nad jej povrchom (hmotnosť Zeme M a jej polomer R sú známe). Určte

a) rozdiel potenciálnej energie $\Delta U$ telesa vo výške h a na povrchu Zeme, t.j. potenciálnu energiu vzhľadom na povrch Zeme,

b) $\Delta U$ pre $h \ll R$ .

[ a) $\Delta U = g_0mRh/$, kde g₀ = GM/R², b) $\Delta U = mg_0h$ ]

14. Vypočítajte, v ktorom mieste na spojnici medzi Zemou a Mesiacom sa intenzita ich spoločného gravitačného poľa rovná nule ! Hmotnosť Mesiaca M_M = 1/81 M_Z , vzdialenosť stredov oboch telies $d \simeq$ 380 000 km .

[ x = 0,9 d = 342 000 km od stredu Zeme ]

15. Telesu s hmotnosťou m , ktoré sa nachádza na povrchu Zeme , udelíme vo vertikálnom smere rýchlosť v₀ . Akú výšku h teleso dosiahne, ak v₀ je menšie než 2. kozmická rýchlosť ? Odpor prostredia neuvažujte.

[ h = v₀ ²R/(2g₀R-v₀ ²) ]

16. Teleso padá voľným pádom z veľkej výšky $h \gg R$ (R je polomer Zeme). Akou rýchlosťou v₀ by dopadlo na Zem, ak by sa pohybovalo vo vákuu ?

[ $v_0 = \sqrt{\frac{2g_0hR}{R+h}} \simeq \sqrt{2g_0R}$ ]

17. Určte obvodovú rýchlosť, ktorou Zem obieha okolo Slnka, za predpokladu, že dráha Zeme je kruhová s polomerom R_d = 1,5.10⁸ km, a keď vieme, že hmotnosť Slnka M_S = 2.10³⁰ kg.

[ v = 29,82 km/s ]

18. Dokážte, že úniková rýchlosť v₂ od Slnka na kružnici po ktorej sa pohybuje Zem je $\sqrt{2}$ krát väčšia než obežná rýchlosť v₁ Zeme okolo Slnka.

[ $v_2 = \sqrt{\frac{2GM}{r}}$ $v_1 \sqrt{\frac{GM}{r}}$ ]

19. Vypočítajte hmotnosť Slnka M_S ak predpokladáme, že Zem obieha po kruhovej dráhe s polomerom R = 149 504 200 km a dobou obehu T = 365,25 dní. Pomocou známeho polomeru Slnka R_S = 695 300 km potom vypočítajte tiažové zrýchlenie g_S na jeho povrchu.

[ M_S = 1,986.10³⁰, g_S = 274 m/s² ]

20. Vzdialenosť Marsu od Slnka je 1,52-krát väčšia ako vzdialenosť Zeme od Slnka. Na základe tohto údaja určte obežnú dobu Marsu okolo Slnka.

[ T_M = 1,874 T_Z = 684 dní ]

21. Umelá družica obieha okolo Zeme po kruhovej dráhe vo výške 200 km nad zemským povrchom. Určte jej obvodovú rýchlosť v₀ a dobu jedného obehu T . Polomer Zeme R = 6378 km.

[ $v_0 = \sqrt{g_0R^2/(R+h)}$ 7,79 km/s, $T = 2\pi R/v_0 \simeq$ 1,43 h ]

22. Určte dostredivé zrýchlenie družice pri jej pohybe po kruhovej dráhe okolo Zeme vo výške h = 200 km nad jej povrchom. Polomer Zeme R = 6378 km .

[ a_d = g₀[R/(R+h)]² = 9,22 m/s² ]

23. V akej vzdialenosti h od povrchu Zeme sa nachádza stacionárna družica, ktorá sa pohybuje po kruhovej dráhe v rovine rovníka ? Polomer Zeme R = 6378 km, g₀ = 9,81 ms^-2 , uhlová rýchlosť Zeme $\omega = 2\pi$ /deň.

[ $h = \sqrt[3]{g_0R^2/\omega ^2} - R \simeq$ 36 000 km ]

24. Ak by stredom Zeme pozdĺž jej priemeru prechádzal tunel, ukážte, že sila pôsobiaca na teleso hmotnosti m , ktoré z povrchu Zeme voľne pustíme do tunela, je priamo úmerná jeho vzdialenosti x od stredu Zeme a smeruje do jej stredu (obr.) Polomer Zeme R = 6378 km, g₀ = 9,81 ms^-2. Ďalej vypočítajte čas t₁ , za ktorý sa toto teleso dostane do stredu Zeme, čas t₂ , za ktorý prejde celým tunelom, a rýchlosť v₁, ktorú má teleso v strede tunela.

[ f = g₀mx/R, $t_1 = \frac{\pi}{2}\sqrt{R/g_0}$ = 21,2 min., t₂ = 2 t₁ = 42,2 min, $v_1 = \sqrt{Rg_0}$ = 7,91 km/s ]